Борсука–Теорема Улама

• Основные факты о теореме Борсука-Улама

  • Теорема утверждает, что любое компактное множество в евклидовом пространстве можно разбить на конечное число непересекающихся подмножеств, каждое из которых гомеоморфно сфере. 
  • Доказательство теоремы основано на лемме Такера, которая утверждает, что для любой непрерывной функции на компактном множестве существует точка, в которой функция принимает максимальное значение. 

• Эквивалентность теоремы Борсука-Улама и леммы Такера

  • Теорема Борсука-Улама эквивалентна лемме Такера, что позволяет доказать одну из теорем из другой. 

• Вариации и обобщения теоремы

  • Теорема применима к функциям, область действия которых является границей открытого ограниченного симметричного подмножества. 
  • В более общем случае, теорема применима к непрерывным функциям на компактных римановых многообразиях. 
  • Существует обобщение теоремы на функции, которые отображают точку в ее противоположную, но это не относится к другим функциям.