Оглавление
Теорема о замкнутом графе
-
Определение и свойства замкнутого графика
- Замкнутый график функции – это множество точек, в которых график функции пересекается с самим собой.
- Замкнутый график является подмножеством графика функции.
- Замкнутый график может быть пустым, если функция не определена в некоторых точках.
-
Примеры замкнутых графиков
- Примеры замкнутых графиков включают функции, которые являются непрерывными и имеют замкнутый график.
- Примеры функций с замкнутым графиком включают функции, которые являются постоянными или периодическими.
-
Теорема о замкнутом графе
- Теорема утверждает, что если функция непрерывна, то ее график замкнут.
- Обратное утверждение верно, если пространство, на которое функция действует, компактно.
- Теорема не выполняется для некомпактных пространств, таких как вещественная прямая.
-
Обобщения теоремы о замкнутом графе
- Существуют версии теоремы для многозначных функций и для линейных операторов между топологическими векторными пространствами.
- Линейные отображения между F-пространствами непрерывны тогда и только тогда, когда их графики замкнуты.
-
Важность теоремы о замкнутом графе
- Теорема является ключевым результатом функционального анализа, гарантирующим непрерывность замкнутых линейных операторов.
- Она обобщена и имеет важные приложения в различных областях математики.
Полный текст статьи: