Оглавление
Теорема о свертке
-
Теорема о свертке
- Преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению их преобразований Фурье.
- Свертка в одной области равна точечному умножению в другой области.
-
Функции непрерывной переменной
- Свертка двух функций u(x) и v(x) определяется как R(f) = F{r}(f) = U(f)V(f).
- Обратное преобразование Фурье приводит к r(x) = F−1{U⋅V}.
- Теорема применима к многомерным функциям в Lp-пространстве.
-
Периодическая свертка
- Для P-периодических функций uP и vP коэффициенты ряда Фурье равны F{uP∗vP}[k] = P⋅U[k]V[k].
- Свертка также P-периодическая и называется периодической сверткой.
-
Функции дискретной переменной
- Для последовательностей u[n] и v[n] теорема о свертке имеет вид R(f) = F{u∗v}(f) = U(f)V(f).
- Периодическая свертка для N-периодических последовательностей uN и vN имеет вид F{uN∗vN}[k] = F{uN}[k]⋅F{vN}[k].
-
Теорема о свертке для обратного преобразования Фурье
- Существует теорема о свертке для обратного преобразования Фурье, где “⋅” представляет продукт Адамара, а “∗” представляет свертку между матрицами.
-
Теорема о свертке для темперированных распределений
- Теорема о свертке распространяется на умеренные распределения, где v представляет собой произвольное умеренное распределение.
- u должно быть “быстро уменьшающейся” функцией для существования свертки и произведения умножения.