Оглавление
- 1 Кривая
- 1.1 Определение кривой
- 1.2 Формализация кривой
- 1.3 Топологические кривые
- 1.4 Алгебраические кривые
- 1.5 История кривых
- 1.6 Современные исследования
- 1.7 Дифференцируемая кривая
- 1.8 Дифференцируемая дуга
- 1.9 Длина кривой
- 1.10 Выпрямляемая кривая
- 1.11 Дифференциальная геометрия
- 1.12 Алгебраическая кривая
- 1.13 Примеры алгебраических кривых
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Теорема Жордана о кривой
Кривая
-
Определение кривой
- Кривая — это объект, похожий на прямую, но не обязательно прямой.
- Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой.
- В “Началах” Евклида кривая определяется как “длина без ширины”.
-
Формализация кривой
- Кривая — это изображение интервала в топологическом пространстве непрерывной функцией.
- Функция, определяющая кривую, называется параметризацией.
- Кривые уровня и алгебраические кривые определяются неявными уравнениями.
-
Топологические кривые
- Топологические кривые включают кривые, заполняющие пространство и фрактальные кривые.
- Функция, определяющая кривую, часто считается дифференцируемой, и кривая называется дифференцируемой.
-
Алгебраические кривые
- Плоская алгебраическая кривая — это нулевое множество многочлена от двух переменных.
- Алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, удовлетворяющее условию быть алгебраическим многообразием размерности один.
- Алгебраические кривые широко используются в криптографии.
-
История кривых
- Интерес к кривым возник задолго до их математического изучения.
- Греческие геометры изучали конические сечения, циссоиды, конхоиды и архимедову спираль.
- Рене Декарт ввел аналитическую геометрию, что позволило описать кривую с помощью уравнения.
-
Современные исследования
- В девятнадцатом веке теория кривых рассматривается как частный случай теории многообразий.
- Вопросы, специфичные для кривых, включают кривые, заполняющие пространство, теорему о кривой Жордана и шестнадцатую задачу Гильберта.
-
Дифференцируемая кривая
- Подмножество C из X, где каждая точка C имеет окрестность U, диффеоморфную интервалу действительных чисел.
- Дифференцируемая кривая – это дифференцируемое многообразие размерности один.
-
Дифференцируемая дуга
- Связное подмножество дифференцируемой кривой.
- Дуги прямых называются сегментами, лучами или прямыми.
- Пример: дуга окружности.
-
Длина кривой
- Определяется как количество, не зависящее от параметризации.
- Длина кривой не зависит от параметризации.
- В метрическом пространстве длина кривой определяется через метрику.
-
Выпрямляемая кривая
- Кривая конечной длины.
- Кривая называется естественной, если для любых t1, t2 из [a, b] выполняется t1 ≤ t2.
- Если кривая непрерывна и Липшица, она автоматически выпрямляется.
-
Дифференциальная геометрия
- Кривые в пространстве любого числа измерений.
- В общей теории относительности мировая линия – это кривая в пространстве-времени.
- Дифференцируемая кривая в дифференцируемом многообразии.
-
Алгебраическая кривая
- Кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии.
- Плоская алгебраическая кривая определяется полиномом от двух переменных.
- Алгебраические кривые могут быть пространственными кривыми.
-
Примеры алгебраических кривых
- Коники: неособые кривые второй степени и нулевого рода.
- Эллиптические кривые: неособые кривые первого рода, важные в теории чисел и криптографии.