Топологии арифметической прогрессии
-
Основы топологии на множестве целых чисел
- Топология на множестве целых чисел может быть определена через арифметические прогрессии.
- Пересечение двух арифметических прогрессий может быть пустым или другой арифметической прогрессией.
- Топология может быть основана на множестве арифметических прогрессий с определенными свойствами.
-
Примеры топологий на
- Z
-
— Топология Фюрстенберга основана на всех
- a
- +
- b
- , где
- ,
- ∈
- > 0.
- Топология Голомба основана на всех
- N
-
Свойства топологий
- Топологии Голомба и Кирха являются хаусдорфовыми, но не регулярными.
- Топология Фюрстенберга является хаусдорфовой и регулярной, но не полностью метризуемой.
- Пространство Голомба и пространство Кирха являются топологически жесткими, но пространство Фюрстенберга образует однородное пространство.
-
Связь с бесконечностью простых чисел
- Топологии Фюрстенберга и Голомба доказывают существование бесконечно многих простых чисел.
-
Обобщения
- Топология Фюрстенберга является частным случаем проконечной топологии в группе.
- Существуют обобщения топологии на основе идеалов дедекиндовой области, но вопрос о гомеоморфности топологических пространств остается открытым.