Оглавление
Коробчатая топология
-
Определение и свойства коробчатой топологии
- Коробчатая топология основана на декартовых произведениях открытых множеств в компонентах.
- Она не всегда удовлетворяет всем желаемым свойствам, таким как компактность и связность.
- Коробчатая топология является более точной, чем топология продукта, но они совпадают для конечных прямых произведений.
-
Примеры и свойства
- Пример нарушения непрерывности: куб Гильберта с дискретной топологией на компонентах не является непрерывным, несмотря на непрерывность всех составляющих функций.
- Пример недостаточной компактности: счетное произведение компактных пространств не является компактным, даже если каждое пространство является компактным.
-
Сходимость в коробчатой топологии
- Поточечная сходимость в топологии продукта не всегда выполняется в коробчатой топологии, требуется дополнительное условие.
- Последовательность функций в коробчатой топологии сходится, если она сходится в каждой точке и существует конечное подмножество, где последовательность постоянна почти для всех точек.
-
Сравнение с топологией продукта
- Топология продукта обладает свойством, что отображение продукта является непрерывным, если все компоненты непрерывны.
- Коробчатая топология не всегда удовлетворяет этому свойству, что делает её полезной для демонстрации контрпримеров.
-
Ссылки
- Статья основана на книге “Контрпримеры в топологии” Стина и Зеебаха.
Полный текст статьи: