Оглавление
Закрытый коллектор
-
Определение многообразия
- Многообразие – топологическое пространство, локально гомеоморфное евклидову пространству.
- Включает в себя связные и несвязные подмножества, но не включает в себя границы.
-
Примеры многообразий
- Простейшие примеры: сфера, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость.
- Более сложные примеры: поверхности, трехмерные многообразия, четырехмерные многообразия.
-
Группы гомологий
- Группа гомологий Hn(M;Z) является Z или 0 в зависимости от ориентируемости M.
- Подгруппа кручения Hn-1(M;Z) равна 0 или Z2 в зависимости от ориентируемости M.
-
Двойственность Пуанкаре
- Для коммутативного кольца R существует изоморфизм между Hk(M;R) и Hn-k(M;R) для всех k.
- Это позволяет рассматривать замкнутые многообразия как Z2-ориентируемые.
-
Открытые и замкнутые многообразия
- Открытое многообразие – это некомпактное и без границ, в отличие от замкнутого многообразия.
- Некоторые объекты, такие как диск, могут быть замкнутыми многообразиями, но не открытыми.
-
Использование в физике
- Понятие “замкнутая вселенная” может относиться к вселенной с постоянной положительной кривизной Риччи.
-
Рекомендации
- Для более глубокого изучения дифференциальной геометрии рекомендуется книга Майкла Спивака.