Слабая формулировка
-
Слабые формулировки уравнений
- Слабые формулировки позволяют использовать линейную алгебру для решения задач в других областях.
- Слабые решения определяются только для определенных тестовых векторов или функций.
- В строгой формулировке пространство решений строится так, чтобы уравнения выполнялись.
-
Теорема Лакса–Милгрэма
- Теорема Лакса–Милгрэма дает слабые формулировки для систем в гильбертовых пространствах.
- Теорема утверждает, что для ограниченного f и билинейной формы a(u, v) существует уникальное решение u.
- Решение u удовлетворяет условию |a(u, v)| ≤ C‖u‖‖v‖ и a(u, u) ≥ c‖u‖2.
-
Пример 1: Линейная система уравнений
- В линейной системе уравнений слабая формулировка включает поиск u, удовлетворяющего условию ⟨Au, v⟩ = ⟨f, v⟩ для всех v.
- Билинейная форма a(u, v) = vT Au.
-
Пример 2: Уравнение Пуассона
- Для уравнения Пуассона слабая формулировка включает тестирование с дифференцируемыми функциями v.
- Билинейная форма a(u, v) = ∫Ω∇u⋅∇v dx.
- Пространство решений V = H01(Ω) функций с нулевыми граничными условиями и интегрируемыми в квадрат производными.
-
Применение теоремы Лакса–Милгрэма
- В примере 1 теорема дает более сильный результат, чем необходимо.
- В примере 2 теорема дает оценку ‖∇u‖ ≤ ‖f‖[H01(Ω)]′.