Функция Лиувилля
-
Определение и свойства функции Лиувилля
- Функция Лиувилля λ(n) равна +1, если n — произведение четного числа простых чисел, и -1, если n — произведение нечетного числа простых чисел.
- Функция λ(n) полностью мультипликативна и связана с функцией Мебиуса μ(n).
- Функция Лиувилля связана с рядом Дирихле и рядом Ламберта, а также с гипотезами о суммирующих функциях.
-
Гипотезы и их опровержения
- Проблема Поля касается вопроса о том, всегда ли L(n) ≤ 0 для n > 1, и ответ отрицательный.
- Гипотеза о положительности T(n) для достаточно больших n была опровергнута Хазелгроувом.
-
Обобщения и аналитические свойства
- Взвешенные суммирующие функции над функцией Лиувилля связаны с функцией Мертенса и имеют аналогичные асимптотические соотношения.
- При определенных условиях, например, при гипотезе Римана, существуют последовательности T(n) с определенными свойствами.
-
Рекомендации
- Статья содержит информацию о функциях Лиувилля и их связи с другими математическими функциями, а также о гипотезах, связанных с суммирующими функциями.
Полный текст статьи: