Услышав звук барабана

• Открытие формы барабана по звуку

  • Марк Кац опубликовал статью в 1966 году, где обсуждалась возможность услышать форму барабана по его звуку. 
  • Вопрос о возможности распознавания формы по звуку был поднят еще в 1882 году физиком Артуром Шустером. 

• Математические основы

  • Уравнение Гельмгольца позволяет вычислить частоты, соответствующие форме барабана. 
  • Частоты являются собственными значениями лапласиана, и их знание не позволяет однозначно определить форму. 

• Отрицательный ответ Гордона, Уэбба и Уолперта

  • В начале 1990-х годов Гордон, Уэбб и Уолперт доказали, что две разные формы не могут иметь одинаковый набор частот. 

• Изоспектральность и собственные значения

  • Изоспектральные области имеют одинаковые собственные значения, что позволяет воспроизводить одни и те же звуки. 
  • Собственные значения Дирихле соответствуют основным звукам барабана и отображаются в виде коэффициентов Фурье. 

• Примеры изоспектральных областей

  • В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару областей на плоскости с разными формами, но одинаковыми собственными значениями. 
  • Бусер, Конвей, Дойл и Земмлер расширили этот результат, построив множество изоспектральных областей в различных размерностях. 

• Общий вывод

  • Для многих фигур невозможно полностью определить форму барабана по его звуку, но можно получить некоторую информацию. 
  • Стив Зельдич доказал, что для выпуклых аналитических областей ответ на вопрос Каца положителен. 

• Формула Вейля и гипотеза Вейля-Берри

  • Формула Вейля позволяет определить площадь барабана по скорости роста собственных значений. 
  • Майкл Берри предположил, что для негладких границ формула должна быть скорректирована. 
  • Гипотеза Вейля-Берри была опровергнута для размерностей выше одной, но для размерности 1 была доказана. 

• Дополнительные ресурсы

  • Ссылки на моделирование и визуализации изоспектральных барабанов. 
  • Статья Иварса Петерсона на сайте Математической ассоциации Америки.