Алгебра Фробениуса

Оглавление1 Алгебра Фробениуса1.1 Определение алгебры Фробениуса1.2 Примеры алгебр Фробениуса1.3 Свойства алгебр Фробениуса1.4 Категория-теоретическое определение1.5 Приложения алгебр Фробениуса1.6 Обобщения алгебр Фробениуса1.7 […]

Алгебра Фробениуса

  • Определение алгебры Фробениуса

    • Алгебра Фробениуса — это конечномерная унитальная ассоциативная алгебра с невырожденной билинейной формой.  
    • Форма Фробениуса удовлетворяет уравнению σ(a·b, c) = σ(a, b·c).  
    • Алгебра называется симметричной, если форма симметрична.  
  • Примеры алгебр Фробениуса

    • Матричные алгебры являются алгебрами Фробениуса с формой Фробениуса tr(a·b).  
    • Групповые кольца конечных групп являются симметричными алгебрами Фробениуса.  
    • Четырехмерная k-алгебра k [x, y] / (x2, y2) является алгеброй Фробениуса.  
  • Свойства алгебр Фробениуса

    • Прямое произведение и тензорное произведение алгебр Фробениуса также являются алгебрами Фробениуса.  
    • Алгебры Фробениуса являются квазифробениусовыми кольцами и левыми и правыми артиновыми.  
    • Алгебры Фробениуса имеют инъективное правое регулярное представление.  
  • Категория-теоретическое определение

    • Объект Фробениуса в моноидальной категории состоит из объекта A и четырех морфизмов.  
    • Алгебра Фробениуса называется изометрической, если μ ∘ δ = IdA.  
  • Приложения алгебр Фробениуса

    • Алгебры Фробениуса используются в теории представлений конечных групп, теории чисел, алгебраической геометрии и комбинаторике.  
    • Они играют важную роль в топологической квантовой теории поля.  
  • Обобщения алгебр Фробениуса

    • Расширения Фробениуса — это кольцевые расширения, удовлетворяющие условию бимодуля.  
    • Примеры расширений Фробениуса включают пары групповых алгебр и подалгебры Хопфа.  
  • Пример с групповым кольцом

    • Группа G и подгруппа H с конечным индексом n  
    • Определение гомоморфизма Фробениуса E: A → B  
    • Условие ортонормированности E  
  • Двойственное основание

    • Формула для двойственного основания: x = g, y = g-1  
    • Уравнение с двойной базой для G  
  • Расширения Хопфа-Галуа

    • Конечная группа G, действующая на алгебру A  
    • Критерий Демейера для G-Галуа над B  
    • Пример расширения разделимой алгебры  
  • Теория индуцированных представлений

    • Изоморфизм индуцированных и коиндуцированных модулей  
    • Теорема Каша о кольце эндоморфизмов  
  • Дополнения Фробениуса

    • Категорическая формулировка расширений Фробениуса  
    • Функтор индуцированной индукции и его сопряжения  
    • Присоединение Фробениуса и функторы Фробениуса  

Полный текст статьи:

Алгебра Фробениуса

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх