Оглавление
- 1 Алгебра Фробениуса
- 1.1 Определение алгебры Фробениуса
- 1.2 Примеры алгебр Фробениуса
- 1.3 Свойства алгебр Фробениуса
- 1.4 Категория-теоретическое определение
- 1.5 Приложения алгебр Фробениуса
- 1.6 Обобщения алгебр Фробениуса
- 1.7 Пример с групповым кольцом
- 1.8 Двойственное основание
- 1.9 Расширения Хопфа-Галуа
- 1.10 Теория индуцированных представлений
- 1.11 Дополнения Фробениуса
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Алгебра Фробениуса
Алгебра Фробениуса
-
Определение алгебры Фробениуса
- Алгебра Фробениуса — это конечномерная унитальная ассоциативная алгебра с невырожденной билинейной формой.
- Форма Фробениуса удовлетворяет уравнению σ(a·b, c) = σ(a, b·c).
- Алгебра называется симметричной, если форма симметрична.
-
Примеры алгебр Фробениуса
- Матричные алгебры являются алгебрами Фробениуса с формой Фробениуса tr(a·b).
- Групповые кольца конечных групп являются симметричными алгебрами Фробениуса.
- Четырехмерная k-алгебра k [x, y] / (x2, y2) является алгеброй Фробениуса.
-
Свойства алгебр Фробениуса
- Прямое произведение и тензорное произведение алгебр Фробениуса также являются алгебрами Фробениуса.
- Алгебры Фробениуса являются квазифробениусовыми кольцами и левыми и правыми артиновыми.
- Алгебры Фробениуса имеют инъективное правое регулярное представление.
-
Категория-теоретическое определение
- Объект Фробениуса в моноидальной категории состоит из объекта A и четырех морфизмов.
- Алгебра Фробениуса называется изометрической, если μ ∘ δ = IdA.
-
Приложения алгебр Фробениуса
- Алгебры Фробениуса используются в теории представлений конечных групп, теории чисел, алгебраической геометрии и комбинаторике.
- Они играют важную роль в топологической квантовой теории поля.
-
Обобщения алгебр Фробениуса
- Расширения Фробениуса — это кольцевые расширения, удовлетворяющие условию бимодуля.
- Примеры расширений Фробениуса включают пары групповых алгебр и подалгебры Хопфа.
-
Пример с групповым кольцом
- Группа G и подгруппа H с конечным индексом n
- Определение гомоморфизма Фробениуса E: A → B
- Условие ортонормированности E
-
Двойственное основание
- Формула для двойственного основания: x = g, y = g-1
- Уравнение с двойной базой для G
-
Расширения Хопфа-Галуа
- Конечная группа G, действующая на алгебру A
- Критерий Демейера для G-Галуа над B
- Пример расширения разделимой алгебры
-
Теория индуцированных представлений
- Изоморфизм индуцированных и коиндуцированных модулей
- Теорема Каша о кольце эндоморфизмов
-
Дополнения Фробениуса
- Категорическая формулировка расширений Фробениуса
- Функтор индуцированной индукции и его сопряжения
- Присоединение Фробениуса и функторы Фробениуса