Алгебра над полем
-
Определение алгебры
- Алгебра над полем K — это векторное пространство с билинейным произведением.
- Операция умножения может быть ассоциативной или неассоциативной.
- Ассоциативные алгебры включают алгебры матриц и многочленов.
- Неассоциативные алгебры включают евклидовы пространства и алгебры Ли.
-
Основные понятия
- Гомоморфизмы алгебр — это линейные отображения, сохраняющие умножение.
- Изоморфизмы алгебр — это биективные гомоморфизмы.
- Подалгебры — это линейные подпространства, замкнутые при умножении.
- Левые идеалы — это подмножества, замкнутые при умножении слева.
- Правые идеалы — это подмножества, замкнутые при умножении справа.
- Двусторонние идеалы — это подмножества, замкнутые при обоих умножениях.
-
Расширение скаляров
- Алгебры над расширениями полей строятся через тензорное произведение.
-
Виды алгебр
- Унитальные алгебры имеют единичный элемент.
- Нулевые алгебры имеют нулевое произведение.
-
Альтернативные алгебры
- Алгебры могут быть определены как кольца с кольцевым гомоморфизмом.
- Гомоморфизм должен коммутировать со скалярным умножением.
-
Структурные коэффициенты
- Умножение в алгебре определяется структурными коэффициентами.
- Структурные коэффициенты могут быть заданы произвольно, но не определяют алгебру с точностью до изоморфизма.
-
Классификация низкоразмерных алгебр
- Двумерные алгебры состоят из линейных комбинаций двух элементов.
- Трехмерные алгебры состоят из линейных комбинаций трех элементов, одна из которых некоммутативна.
-
Алгебра над кольцом
- Алгебра над кольцом определяется как R-модуль.
- Кольцо всегда является алгеброй над своим центром и целыми числами.
-
Примеры алгебр над кольцами
- Алгебра расщепленных бикватернионов является алгеброй над своим центром.
- В коммутативной алгебре любой унитальный гомоморфизм R → A определяет структуру R-модуля в A.
-
Дополнительные понятия
- Алгебра над операдой, альтернативная алгебра, алгебра Клиффорда и другие.