Оглавление
- 1 Алгебраическая группа
- 1.1 Определение алгебраической группы
- 1.2 Примеры алгебраических групп
- 1.3 Связанные определения
- 1.4 Алгебра Ли алгебраической группы
- 1.5 Альтернативные определения
- 1.6 Аффинные алгебраические группы
- 1.7 Абелевы многообразия
- 1.8 Структурная теорема Шевалле
- 1.9 Связность алгебраических групп
- 1.10 Алгебраические группы над локальными полями
- 1.11 Группы Кокстера и алгебраические группы
- 1.12 Дополнительные понятия
- 1.13 Рекомендации
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Алгебраическая группа – Arc.Ask3.Ru
Алгебраическая группа
-
Определение алгебраической группы
- Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие с групповой структурой.
- Изучение алгебраических групп относится к алгебраической геометрии и теории групп.
-
Примеры алгебраических групп
- Аддитивная группа: аффинная линия с операциями сложения и инверсии.
- Мультипликативная группа: аффинное многообразие с операциями умножения и инверсии.
- Специальная линейная группа: алгебраическое уравнение в аффинном пространстве.
- Общая линейная группа: подмногообразие в аффинном пространстве.
-
Связанные определения
- Алгебраическая подгруппа: подмногообразие, являющееся подгруппой.
- Морфизм между алгебраическими группами: обычная карта, являющаяся групповым гомоморфизмом.
- Нормальная подгруппа: устойчива при внутренних автоморфизмах.
-
Алгебра Ли алгебраической группы
- Алгебра Ли связана с алгебраической группой как векторное пространство.
- Скобка Ли строится на основе интерпретации как пространства производных.
-
Альтернативные определения
- Алгебраическая группа как групповая схема по полю.
- Алгебраическая группа как групповой объект в категории алгебраических многообразий.
-
Аффинные алгебраические группы
- Алгебраическая группа называется аффинной, если её базовое многообразие является аффинным.
- Примеры: аддитивные, мультипликативные, общие и специальные линейные группы.
- Линейные алгебраические группы классифицируются по теореме Леви.
-
Абелевы многообразия
- Абелевы многообразия — это проективные алгебраические группы, всегда коммутативные.
- Примеры: эллиптические кривые, якобиевы многообразия.
-
Структурная теорема Шевалле
- Каждая связная алгебраическая группа является продолжением абелева многообразия линейной алгебраической группой.
-
Связность алгебраических групп
- Алгебраическая группа G над совершенным полем K является связным многообразием, если G содержит единственную нормальную замкнутую подгруппу H, такую что H является связным линейным алгебраическим многообразием, а G/H является абелевым многообразием.
- Алгебраическая группа называется связной, если она не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств.
- Примеры несвязанных групп: алгебраическая подгруппа n-корней из единицы в мультипликативной группе Gm и ортогональная группа в четной размерности.
-
Алгебраические группы над локальными полями
- Если поле k является локальным, то группа G(k) наделена аналитической топологией, исходящей из вложения в проективное пространство Pn(k).
- Такие группы являются важными примерами в общей теории топологических групп.
- Если k = R или C, то G(k) становится группой Ли.
- Не все группы Ли могут быть получены с помощью этой процедуры.
-
Группы Кокстера и алгебраические группы
- Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера.
- Число элементов симметричной группы равно n!, а число элементов общей линейной группы над конечным полем равно q-факториалу [n]q!.
- Симметричная группа ведет себя как линейная группа над “полем с одним элементом”.
-
Дополнительные понятия
- Разнообразие характеров
- Подгруппа Бореля
- Ручная группа
- Ранг Морли
- Гипотеза Черлина–Зильбера
- Адельная алгебраическая группа
- Псевдоредуктивная группа
-
Рекомендации
- Милн, Дж. С., Аффинные групповые схемы; Алгебры Ли; Группы Ли; Редуктивные группы; Арифметические подгруппы
- Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниела Миллера