Анализ устойчивости по Фон Нейману
-
Анализ устойчивости по фон Нейману
- Метод для проверки устойчивости конечно-разностных схем для линейных дифференциальных уравнений в частных производных
- Основан на разложении числовой погрешности по Фурье
- Разработан в Лос-Аламосской национальной лаборатории
-
Численная стабильность
- Стабильность связана с численной погрешностью
- Схема стабильна, если ошибки не увеличиваются со временем
- Нейтрально стабильная схема: ошибки остаются постоянными
- Стабильная схема: ошибки уменьшаются и исчезают
- Нестабильная схема: ошибки растут со временем
-
Иллюстрация метода
- Метод основан на разложении ошибок в ряд Фурье
- Пример: одномерное уравнение теплопроводности
- Дискретизация уравнения и определение ошибки округления
-
Рекуррентное соотношение для ошибки
- Ошибка удовлетворяет дискретизированному уравнению
- Ошибка имеет одинаковую динамику роста или затухания во времени
-
Разложение погрешности в ряд Фурье
- Погрешность разлагается в ряд Фурье относительно x
- Волновое число km = πm/L
- Амплитуда погрешности Em зависит от времени
-
Характеристики устойчивости
- Рост погрешности типичного члена
- Использование интеграла Фурье для определения погрешности
-
Условие устойчивости
- Необходимое и достаточное условие: |G| ≤ 1
- Условие устойчивости задается формулой
- Требование стабильности для схемы FTCS
-
Пример для одномерного уравнения теплопроводности
- Условие стабильности: Δt должно быть достаточно малым для удовлетворения уравнения (10)
- Схема FTCS для линейной адвекции безусловно нестабильна