Пространство цикла

• Основы топологии циклов

  • Пространство циклов ΩX — это пространство непрерывных остроконечных карт от S1 до X с компактно-открытой топологией. 
  • Два цикла могут быть умножены, образуя A∞-пространство, что означает гомотопическую когерентность ассоциативности. 

• Компоненты траектории и фундаментальная группа

  • Компоненты траектории ΩX — это классы базисной гомотопической эквивалентности базисных циклов. 
  • Фундаментальная группа π1(X) — это множество компонентов траектории. 

• Повторяющиеся циклические пространства

  • Повторяющиеся циклические пространства формируются путем многократного применения Ω. 

• Пространство свободных циклов

  • Пространство свободных циклов LX — это пространство отображений из S1 в X с компактно-открытой топологией. 

• Двойственность Экмана-Хилтона

  • Пространство петли двойственно пространству свободного цикла, что называется двойственностью Экмана-Хилтона. 
  • Гомеоморфизм карри по модулю коэффициентов связывает гомотопические классы отображений с гомотопическими классами их приостановлений. 

• Групповые структуры в гомотопических группах

  • Гомотопические группы заостренных пространств имеют естественные групповые структуры, связанные с двойственностью Экмана-Хилтона. 

• Связь с фундаментальной группой

  • Гомотопическая группа πk(X) связана с фундаментальной группой через сферы, подвешенные к X.