Двойственность (математика)
-
Определение двойственности
- Двойственность — это отношение эквивалентности между двумя математическими объектами, при котором каждый объект эквивалентен своему двойственному.
- Двойственность может быть определена как биективное отображение, которое сохраняет операции и свойства исходного объекта.
-
Примеры двойственности
- В линейной алгебре двойственность между векторами и линейными операциями.
- В геометрии двойственность между точками и прямыми в проективной плоскости.
- В модальной логике двойственность между истинными и возможными утверждениями.
- В теории множеств двойственность между объединением и пересечением множеств.
-
Двойственность в векторной алгебре
- Векторное пространство V и его двойственное пространство V** связаны через оператор Hom(V, D).
- Размерность V конечна тогда и только тогда, когда V** изоморфно V.
- Изоморфизм между V и V** эквивалентен невырожденной билинейной форме.
-
Двойственность в проективной геометрии
- В проективной плоскости двойственность позволяет преобразовывать точки в прямые и прямые в точки, сохраняя инцидентность.
- Проективные плоскости с двойственностью соответствуют дуальным векторным пространствам.
- Билинейная форма на проективной плоскости позволяет отождествить ее с R**P**2.
-
Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства
- В топологических векторных пространствах существует несколько видов двойственности, каждый из которых порождает свое понятие двойственности.
- Рефлексивное пространство — это топологическое векторное пространство, которое изоморфно своему бидуальному.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.