Оглавление
- 1 Функция сохранения предела (теория порядка)
- 1.1 Функции, сохраняющие пределы
- 1.2 Инвертированное сохранение пределов
- 1.3 Предыстория и мотивация
- 1.4 Формальное определение
- 1.5 Свойства сохранения пределов
- 1.6 Отражение пределов
- 1.7 Особые случаи
- 1.8 Распределительная способность
- 1.9 Скотт-непрерывность
- 1.10 Важные свойства и результаты
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Функция сохранения предела (теория порядка)
Функция сохранения предела (теория порядка)
-
Функции, сохраняющие пределы
- Функции сопоставляют верхнюю/нижнюю границу множества с верхней/нижней границей изображения множества
- Функции могут сохранять конечную, направленную, непустую или произвольную верхнюю/нижнюю границу
- Эти требования естественны и часто встречаются в теории порядка
-
Инвертированное сохранение пределов
- Функции, отражающие предел, существуют, если существование пределов в диапазоне функции подразумевает существование пределов в области
-
Предыстория и мотивация
- В теории решеток и теории предметной области важны полные порядки с определенными предельными конструкциями
- Ограничения играют центральную роль в этих теориях
-
Формальное определение
- Функция сохраняет максимальную величину S, если множество f(S) имеет наименьшую верхнюю границу, равную f(s)
- Это определение включает существование и равенство высшей точки
-
Свойства сохранения пределов
- Функции сохраняют конечное, непустое, направленное или произвольное превосходство
- Сохранение непустого конечного значения suprema определяется тождеством f(x v y) = f(x) v f(y)
- Двойственные свойства определяются для сохранения infima
-
Отражение пределов
- Функция отражает максимальную величину S, если sup S существует и равен s
-
Особые случаи
- Функции, сохраняющие пустой верхний предел, сохраняют наименьший элемент
- Функции, сохраняющие все верхние (или нижние) значения, могут быть частью уникальной связи Галуа
-
Распределительная способность
- Решетка L является дистрибутивной, если функция meet ^ сохраняет бинарное превосходство
- Закон бесконечного распределения из полных алгебр Хейтинга эквивалентен функции meet ^, сохраняющей произвольное превосходство
-
Скотт-непрерывность
- Функции, сохраняющие направленное превосходство, называются непрерывными по Скотту
-
Важные свойства и результаты
- Функции, сохраняющие по крайней мере верхнюю или нижнюю границу двухэлементных цепочек, являются монотонными
- Функции сохраняют направленное превосходство тогда и только тогда, когда сохраняют превосходство всех идеалов
- Функция сохраняет произвольную вершину тогда и только тогда, когда сохраняет направленную и конечную вершины
- Функции, сохраняющие все верхние значения, не обязательно сохраняют все нижние значения