Оглавление
- 1 Гипергеометрическая функция
- 1.1 Определение и свойства гипергеометрической функции
- 1.2 История и исследования
- 1.3 Формулы и дифференцирование
- 1.4 Особые случаи и приложения
- 1.5 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
- 1.6 Решения в особых точках
- 1.7 Решения гипергеометрического уравнения
- 1.8 Группа Куммера
- 1.9 Q-форма и производная Шварца
- 1.10 Карты треугольника Шварца
- 1.11 Группа монодромии
- 1.12 Интегральные формулы
- 1.13 Джон-преобразование
- 1.14 Соседние функции
- 1.15 Продолжающиеся дроби
- 1.16 Трансформации
- 1.17 Значения при z = 1
- 1.18 Значения при z = 1/2
- 1.19 Другие точки
- 1.20 Гипергеометрическая функция Гаусса
- 1.21 Базовая гипергеометрическая серия
- 1.22 Внешние ссылки
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция
-
Определение и свойства гипергеометрической функции
- Гипергеометрическая функция 2F1(a, b; c; z) определяется как степенной ряд, включающий множество других специальных функций.
- Функция является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
- Каждое линейное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками может быть преобразовано в гипергеометрическое уравнение.
-
История и исследования
- Термин “гипергеометрический ряд” впервые использован Джоном Уоллисом в 1655 году.
- Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс внесли значительный вклад в изучение функции.
- Бернхард Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для 2F1(z) может быть охарактеризовано тремя регулярными особенностями.
-
Формулы и дифференцирование
- Функция может быть выражена через степенные ряды и интегралы.
- Дифференцирование функции приводит к другим гипергеометрическим функциям.
-
Особые случаи и приложения
- Многие математические функции могут быть выражены через гипергеометрическую функцию.
- Функция используется в математической физике и ортогональных многочленах.
-
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
- Функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера.
- Уравнение имеет три правильные особые точки: 0, 1 и θ.
- Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками может быть преобразовано в гипергеометрическое уравнение.
-
Решения в особых точках
- В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ существует два специальных решения.
- Решения строятся на основе гипергеометрического ряда 2F1(a,b; c; z).
-
Решения гипергеометрического уравнения
- При c = 0, z = 1, c − a − b не целое, существуют два независимых решения.
- При z = ∞, a − b не целое, также существуют два независимых решения.
- При c ≠ 0, z ≠ 1, c − a − b целое, существуют три независимых решения.
-
Группа Куммера
- Уравнение Фукса второго порядка с n особыми точками имеет группу симметрий.
- В случае n = 3, группа изоморфна симметричной группе в 4 точках.
- Группа Куммера из 24 преобразований генерируется тремя преобразованиями.
-
Q-форма и производная Шварца
- Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме.
- Q-форма важна в её отношении к производной Шварца.
-
Карты треугольника Шварца
- Отображения треугольника Шварца представляют собой отношения пар решений.
- s-функции Шварца являются конформными отображениями верхней полуплоскости в треугольники на сфере Римана.
-
Группа монодромии
- Монодромия описывает, как изменяются фундаментальные решения при аналитическом продолжении.
- Группа монодромии является двумерным линейным представлением фундаментальной группы.
-
Интегральные формулы
- Интеграл Эйлера связывает бета-функцию с гипергеометрическим уравнением.
- Интеграл Барнса использует теорию вычетов для вычисления интеграла.
-
Джон-преобразование
- Гипергеометрическая функция Гаусса может быть записана как Джон-преобразование.
-
Соседние функции
- Шесть функций, связанных с 2F1(a, b; c; z), называются соседними.
- Гаусс показал, что 2F1(a, b; c; z) можно выразить через любые две соседние функции с рациональными коэффициентами.
-
Продолжающиеся дроби
- Гаусс использовал соседние функции для записи 2F1(a+1, b; c+1; z) как продолжающуюся дробь.
-
Трансформации
- Трансформации связывают две гипергеометрические функции при разных значениях z.
- Фрактальные линейные преобразования включают преобразования Эйлера и Пфаффа.
- Квадратные преобразования существуют при определенных значениях параметров.
- Кубические преобразования существуют при определенных значениях параметров.
-
Значения при z = 1
- Гаусс’s summation theorem: 2F1(a, b; c; 1) = Γ(c)Γ(c-a-b)/Γ(c-a)Γ(c-b).
- Kummer’s theorem: 2F1(a, b; 1+a-b; −1) = Γ(1+a-b)Γ(1+1/2a)/Γ(1+a)Γ(1+1/2a-b).
-
Значения при z = 1/2
- Gauss’s second summation theorem: 2F1(a, b; 1/2(1+a+b); 1/2) = Γ(1/2)Γ(1/2(1+a+b))/Γ(1/2(1+a))Γ(1/2(1+b)).
- Bailey’s theorem: 2F1(a, 1-a; c; 1/2) = Γ(1/2c)Γ(1/2(1+c))/Γ(1/2(c+a))Γ(1/2(1+c-a)).
-
Другие точки
- Существуют формулы для гипергеометрической функции как алгебраического числа при специальных рациональных значениях параметров.
-
Гипергеометрическая функция Гаусса
- Бикерс, Фриц (2002)
- Конспекты лекций, рассматривающие основы, карты треугольников и монодромию
-
Базовая гипергеометрическая серия
- Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004)
- 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96
- Издательство Кембриджского университета, Кембридж
- ISBN 0-521-83357-4
- Часть 1 рассматривает гипергеометрические функции на группах Ли
- Перепечатку статьи можно найти здесь
- Издание в мягкой обложке 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2
-
Внешние ссылки
- Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций (Оксфордский университет, магистерская диссертация)
- Марко Петковсек, Герберт Уилф и Дорон Зейлбергер, книга “A = B” (доступна для свободного скачивания)