Конечно порожденная алгебра
- Конечно порожденная алгебра – коммутативная ассоциативная алгебра над полем K, где существует конечный набор элементов a1,…,an, такой, что каждый элемент A может быть выражен как многочлен от a1,…,an, с коэффициентами в K.
- Эквивалентно этому, существуют элементы a1,…,an ∈ A такой, что оценочный гомоморфизм при a = (a1,…,an) сюръективен.
- На самом деле, A ≃ K[X1,…,Xn] / ker(ϕa).
- Наоборот, A := K[X1,…,Xn] / Я для любого идеала Я ⊆ K[X1,…,Xn] – это K-алгебра конечного типа.
- Если необходимо выделить поле K, то говорят, что алгебра конечно порождена над K.
- Алгебры, которые не являются конечно порожденными, называются бесконечно порожденными.
- Примеры конечно порожденных алгебр: полиномиальная алгебра K[x1,…,xn], поле E = K(t) рациональных функций от одной переменной над бесконечным полем K.
- Свойства конечно порожденных алгебр: гомоморфный образ конечно порожденной алгебры сам по себе конечно порожден, но аналогичное свойство для подалгебр в целом не выполняется.
- Конечно порожденные редуцированные коммутативные алгебры являются основными объектами рассмотрения в современной алгебраической геометрии.
- Конечные алгебры и алгебры конечного типа связаны с понятиями конечных морфизмов и морфизмов конечного типа.
Полный текст статьи: