Оглавление [Скрыть]
Положительно-определенная функция
-
Определение положительно определенной функции
- Функция f: R → C называется положительно полуопределенной, если для всех действительных чисел x1, …, xn матрица n × n является положительной полуопределенной.
- Функция является отрицательной полуопределенной, если неравенство обратное.
- Функция является определенной, если слабое неравенство заменить сильным (<, > 0).
-
Примеры положительно определенных функций
- Если (X, ⟨⋅, ⋅⟩) — внутреннее пространство продукта, то функция gy: X → C, x ↦ exp(i⟨y, x⟩), является положительно определенной для каждого y ∈ X.
- Косинусная функция является положительно определенной как неотрицательная линейная комбинация вышеуказанных функций.
- Положительно определенную функцию f: X → C можно извлечь из положительно определенной функции f: R → C для любого векторного пространства X.
-
Теорема Бохнера
- Положительная определенность возникает в теории преобразования Фурье.
- Любая непрерывная положительно определенная функция на вещественной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры.
-
Приложения в статистике
- В статистике, особенно в байесовской статистике, теорема Бохнера применяется к вещественным функциям.
- Для получения результатов измерений с высокой степенью корреляции требуется, чтобы результирующая ковариационная матрица была положительно определенной.
-
Обобщение на группы
- Положительно определенные функции можно определить на любой локально компактной абелевой топологической группе.
- Положительно определенные функции на группах возникают в теории представлений групп на гильбертовых пространствах.
-
Альтернативное определение
- Функция f: Rn → R называется положительно определенной в окрестности D начала координат, если f(0) = 0 и f(x) > 0 для каждого ненулевого значения x ∈ D.
- В физике требование f(0) = 0 иногда отбрасывается.