Оглавление
Представление алгебры Ли
-
Определение алгебры Ли
- Алгебра Ли – это векторное пространство с определенной структурой, включающей скобки Ли.
- Алгебра Ли может быть определена как векторное пространство с билинейной операцией, удовлетворяющей определенным условиям.
-
Примеры алгебр Ли
- Примеры включают алгебры Ли матриц, алгебры Ли групп и алгебры Ли, связанные с дифференциальными операторами.
-
Свойства алгебр Ли
- Алгебры Ли обладают рядом свойств, включая коммутативность, ассоциативность и существование инвариантных базисов.
- Алгебры Ли могут быть классифицированы по типу, включая полупростые, простые и нильпотентные.
-
Представления алгебр Ли
- Представление алгебры Ли – это гомоморфизм алгебры Ли в алгебру линейных операторов.
- Тензорное произведение представлений алгебры Ли определяется как произведение векторных пространств с действием алгебры Ли.
- Двойные представления алгебры Ли связаны с представлением через двойственное пространство.
- Представление на линейных картах связывает алгебру Ли с гомоморфизмами модулей.
-
Теория представлений полупростых алгебр Ли
- Теория представлений полупростых алгебр Ли включает в себя построение конечномерных неприводимых представлений и модулей Verma.
-
Универсальная обертывающая алгебра
- Универсальная обертывающая алгебра связана с каждой алгеброй Ли и играет ключевую роль в теории представлений.
- Она строится как частное кольцо тензорной алгебры векторного пространства алгебры Ли по идеалу, порожденному элементами определенной формы.
-
Инъективность канонического отображения
- Теорема PBW утверждает, что каноническое отображение из алгебры Ли в универсальную обертывающую алгебру инъективно.
- Это позволяет каждой алгебре Ли быть встроена в ассоциативную алгебру с определенной скобкой.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.