Оглавление
Представление алгебры
-
Представление ассоциативной алгебры
- Представление ассоциативной алгебры — это модуль для этой алгебры.
- Ассоциативная алгебра может быть не унитальной, но её можно сделать унитальной.
- Модули для унитальной алгебры и её представления не различаются.
-
Примеры представлений
- Линейная комплексная структура: представление комплексных чисел C как ассоциативной алгебры над действительными числами R.
- Полиномиальные алгебры: представления полиномиальных алгебр, свободных коммутативных алгебр.
-
Веса и весовые векторы
- Вес — это одномерное представление алгебры, обобщение собственного значения.
- Весовой вектор — это вектор, преобразуемый элементами алгебры в кратное значение.
- Веса важны для понимания теории представлений алгебр Ли.
-
Геометрия весов
- Веса полиномиальных алгебр соответствуют точкам в k-мерном пространстве.
- Веса удовлетворяют определяющим уравнениям для алгебраических многообразий.
-
Приложения и рекомендации
- Теория представлений алгебр Ли и конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.
- Лемма Шура, теорема Джейкобсона о плотности, теорема о двойном коммутанте.