Оглавление
- 1 Преобразование Фурье
- 1.1 Преобразование Фурье
- 1.2 Определение и свойства
- 1.3 Инверсия и пары преобразований
- 1.4 Ряд Фурье
- 1.5 Интегрируемые функции Лебега
- 1.6 Пространство L1(R)
- 1.7 Пространство L2(R)
- 1.8 Работа с L2
- 1.9 Преобразование Фурье
- 1.10 Угловая частота
- 1.11 Вариации соглашений
- 1.12 История и сложные синусоиды
- 1.13 Отрицательная частота
- 1.14 Преобразование Фурье для периодических функций
- 1.15 Выборка преобразования Фурье
- 1.16 Единицы измерения
- 1.17 Линейность и симметрия
- 1.18 Основные свойства
- 1.19 Сопряженность и действительная/мнимая части
- 1.20 Нулевая частотная составляющая и равномерность
- 1.21 Теорема Планшереля и теорема Парсеваля
- 1.22 Теорема Планшереля
- 1.23 Теорема о свертке
- 1.24 Теорема о взаимной корреляции
- 1.25 Различие
- 1.26 Собственные функции
- 1.27 Преобразование Фурье и его свойства
- 1.28 Периодичность и инверсия
- 1.29 Связь с группой Гейзенберга
- 1.30 Сложная область и причинные функции
- 1.31 Преобразование Лапласа
- 1.32 Преобразование Фурье и его свойства
- 1.33 Инверсия Фурье
- 1.34 Преобразование Фурье в евклидовом пространстве
- 1.35 Принцип неопределенности
- 1.36 Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- 1.37 Сферические гармоники
- 1.38 Преобразование Фурье радиальной функции
- 1.39 Проблемы с ограничениями
- 1.40 Ограничение преобразования Фурье
- 1.41 Преобразование Фурье в функциональных пространствах
- 1.42 Преобразование Фурье для Lp(R)
- 1.43 Преобразование Фурье для распределений
- 1.44 Преобразование Фурье-Стилтьеса
- 1.45 Преобразование Фурье для локально компактных абелевых групп
- 1.46 Примеры и свойства
- 1.47 Обобщения и альтернативы
- 1.48 Пример
- 1.49 Преобразование Фурье и его свойства
- 1.50 Применение преобразования Фурье
- 1.51 Метод Фурье для волнового уравнения
- 1.52 Концептуальная переформулировка метода Фурье
- 1.53 Распределения на конике
- 1.54 Применение преобразования Фурье
- 1.55 Квантовая механика
- 1.56 Обработка сигналов
- 1.57 Спектральный анализ временных рядов
- 1.58 Обозначения и замены
- 1.59 Интерпретация комплексной функции
- 1.60 Преобразование Фурье как отображение
- 1.61 Методы расчета
- 1.62 Аналитическое и численное интегрирование
- 1.63 Таблицы важных преобразований Фурье
- 1.64 Преобразования Фурье
- 1.65 Обработка аналоговых сигналов
- 1.66 Список преобразований, связанных с Фурье
- 1.67 Преобразование (математика)
- 1.68 Внешние ссылки
- 1.69 Полный текст статьи:
- 2 Преобразование Фурье – Arc.Ask3.Ru
Преобразование Фурье
-
Преобразование Фурье
- Интегральное преобразование, преобразующее функцию в частотную область
- Комплекснозначная функция частоты
- Введено Джозефом Фурье для изучения теплопередачи
-
Определение и свойства
- Преобразование Фурье функции f(x) определяется интегралом
- Функция f^ (ξ) сходится на всех частотах к непрерывной функции
- Если f(x) распадается со всеми производными, f^ также распадается
-
Инверсия и пары преобразований
- Формула инверсии: f(x) = ∫ f^ (ξ) e^i2πξx dξ
- Функции f и f^ называются парой преобразований Фурье
-
Ряд Фурье
- Преобразование Фурье в группе Z из целых чисел
- Синтез последовательности комплексных чисел cn определяется преобразованием Фурье
- При P → ∞ составляющие частоты становятся непрерывным потоком
-
Интегрируемые функции Лебега
- Функция f интегрируема по Лебегу, если интеграл Лебега от её абсолютного значения конечен
- Преобразование Фурье определено для всех ξ ∈ R
- f^ ∈ L∞ ∩ C(R) ограничена, равномерно непрерывна и равна нулю на бесконечности
-
Пространство L1(R)
- Пространство измеримых функций с конечной нормой
- Преобразование Фурье взаимно однозначно на L1(R)
- Нет простой характеристики изображения и обратного преобразования
-
Пространство L2(R)
- Преобразование Фурье не определено для всех функций в L2(R)
- В плотном подпространстве L1 ∩ L2(R) преобразование Фурье допускает непрерывное расширение на L2(R)
- Преобразование Фурье сохраняет пространство L2(R)
-
Работа с L2
- Гауссианы плотны в L1 ∩ L2, что упрощает изучение преобразования Фурье
- Свойства преобразования Фурье могут быть доказаны на основе свойств гауссиан
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье является гомоморфизмом банаховых алгебр из L1 в L∞.
- Преобразование унитарно на L2 и алгебраически гомоморфно от L1 до L∞.
-
Угловая частота
- Угловая частота ω = 2πξ, где ξ — частота.
- Преобразование Фурье может быть записано в терминах угловой частоты.
-
Вариации соглашений
- Существуют три соглашения для преобразования Фурье: f1^, f2^ и f3^.
- Каждое соглашение имеет свои особенности и используется в разных областях.
-
История и сложные синусоиды
- Фурье заявил, что любая функция может быть разложена в ряд синусов.
- Коэффициенты f^(ξ) — комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы.
-
Отрицательная частота
- Формула Эйлера вводит возможность отрицательной частоты.
- Отрицательная частота необходима для характеристики комплекснозначных функций.
-
Преобразование Фурье для периодических функций
- Преобразование Фурье периодической функции определяется через ряды Фурье.
- Преобразование Фурье периодической функции — это гребенчатая функция Дирака.
-
Выборка преобразования Фурье
- Преобразование Фурье интегрируемой функции может быть выбрано с регулярными интервалами.
- Выборка может быть получена из одного цикла периодической функции.
-
Единицы измерения
- Переменная частоты должна иметь единицы измерения, обратные единицам измерения исходной функции.
- Преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое.
-
Линейность и симметрия
- Преобразование Фурье линейно и симметрично.
- Симметрия проявляется в четных и нечетных компонентах.
-
Основные свойства
- Линейность: a f(x) + b h(x) ⟺ F a f^ (ξ) + b h^ (ξ).
- Изменение времени: f(x − x0) ⟺ F e^ (ξ − ξ0) f^ (ξ).
- Сдвиг частоты: e^ (ξ0 x) f(x) ⟺ F f^ (ξ − ξ0).
- Масштабирование по времени: f(ax) ⟺ F 1/|a| f^ (ξ/a).
- Обращение времени вспять: f(−x) ⟺ F f^ (−ξ).
-
Сопряженность и действительная/мнимая части
- Сопряженность: (f(x))* ⟺ F (f^ (−ξ))*.
- Действительная часть: Re{f(x)} ⟺ F 1/2 (f^ (ξ) + (f^ (−ξ))*).
- Мнимая часть: Im{f(x)} ⟺ F 1/2i (f^ (ξ) − (f^ (−ξ))*).
-
Нулевая частотная составляющая и равномерность
- Нулевая частотная составляющая: f^ (0) = ∫−∞∞ f(x) dx.
- Равномерная непрерывность: ‖f^ ‖∞ ≤ ‖f‖1.
- Лемма Римана–Лебега: f^ (ξ) → 0 как |ξ| → ∞.
-
Теорема Планшереля и теорема Парсеваля
- Теорема Планшереля: ⟨f, g⟩L2 = ∫−∞∞ f(x) g(x)¯ dx = ∫−∞∞ f^ (ξ) g^ (ξ)¯ dξ.
- Теорема Парсеваля: ⟨f, g⟩L2 = ∫−∞∞ f(x)g(x)¯ dx = ∫−∞∞ f^ (ξ)g^ (ξ)¯ dξ.
-
Теорема Планшереля
- Преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины
- Теорема Планшереля позволяет расширить преобразование Фурье до унитарного оператора на L2(R)
-
Теорема о свертке
- Преобразование Фурье преобразует функции между сверткой и умножением
- Преобразование Фурье свертки определяется по произведению преобразований Фурье функций
-
Теорема о взаимной корреляции
- Преобразование Фурье взаимной корреляции функций задается произведением преобразований Фурье этих функций
- Автокорреляция функции равна квадрату модуля её преобразования Фурье
-
Различие
- Преобразование Фурье производной функции задается формулой, включающей i2πξ
- Преобразование Фурье n-й производной функции задается формулой, включающей (i2πξ)n
-
Собственные функции
- Преобразование Фурье имеет собственные функции, подчиняющиеся уравнению F[ψ] = λψ
- Собственные функции можно найти, используя однородное дифференциальное уравнение
- Функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций для преобразования Фурье на L2(R)
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье генерирует дробные преобразования Фурье для произвольных значений t.
- Собственные функции преобразования Фурье являются функциями Эрмита.
- Преобразование Фурье обратимо при определенных условиях.
-
Периодичность и инверсия
- Преобразование Фурье является четырехпериодическим.
- Обратное преобразование Фурье можно получить путем трехкратного применения преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье можно интерпретировать как поворот на 90° в частотно-временной области.
-
Связь с группой Гейзенберга
- Группа Гейзенберга описывает унитарные операторы в гильбертовом пространстве L2(R).
- Преобразование Фурье является унитарным представлением группы Гейзенберга.
- Преобразование Фурье связано с автоморфизмом группы Гейзенберга.
-
Сложная область и причинные функции
- Интеграл для преобразования Фурье может сходиться к сложной аналитической функции.
- Теорема Пейли-Винера описывает условия, при которых функция является голоморфной.
- Причинные функции переходят в голоморфную функцию на комплексной нижней полуплоскости.
-
Преобразование Лапласа
- Преобразование Лапласа связано с преобразованием Фурье.
- Преобразование Лапласа может сходиться за пределами воображаемой линии преобразования Фурье.
- Преобразование Лапласа используется для анализа систем с расходящимися или критическими элементами.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье позволяет описывать функции в частотно-временной области.
- Обе боковые схемы нестабильны и не допускают сходящегося разложения Фурье.
- Преобразование Лапласа традиционно относят к методам Фурье.
-
Инверсия Фурье
- Формула инверсии Фурье использует интегрирование по различным линиям, параллельным действительной оси.
- Теорема: Если f(t) = 0 при t < 0 и |f(t)| < Cea|t| для некоторых констант C, a > 0, то f(t) = ∫−∞∞f^(σ+iτ)e−i2πξt dσ.
- Из этой теоремы вытекает формула обращения Меллина для преобразования Лапласа.
-
Преобразование Фурье в евклидовом пространстве
- Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном числе измерений n.
- Все основные свойства справедливы для n-мерного преобразования Фурье.
-
Принцип неопределенности
- Чем более концентрированной является функция f(x), тем более развернутым должно быть ее преобразование Фурье f(θ).
- Принцип неопределенности гласит, что D0(f)D0(f^) ≥ 1/16π2.
- Равенство достигается только для гауссовой функции.
-
Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- В первоначальной формулировке преобразования Фурье использовались синусы и косинусы.
- Абсолютно интегрируемая функция f может быть расширена в терминах истинных частот λ с помощью разложения в интеграл Фурье.
- Функции коэффициентов a и b можно найти с помощью косинусного и синусоидального преобразований Фурье.
-
Сферические гармоники
- Множество однородных гармонических многочленов степени k от Rn обозначается через Ak.
- Преобразование Фурье сопоставляет каждое пространство Hk с самим собой.
- Пусть f(x) = f0(|x|)P(x), тогда f^(ξ) = F0(|ξ|)P(ξ), где F0(r) = 2πi−k r−n+2k−2/2 ∫0∞f0(s)Jn+2k−2/2(2πrs)s^(n+2k)/2ds.
-
Преобразование Фурье радиальной функции
- Преобразование Фурье радиальной функции (k = 0) называется преобразованием Ханкеля.
- Существует рекурсия для вычисления преобразования Фурье радиальной функции в n измерениях.
-
Проблемы с ограничениями
- В более высоких измерениях возникают проблемы с ограничениями для преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, но для квадратно-интегрируемой функции оно может быть общим классом функций.
- Ограничение преобразования Фурье на множествах с мерой 0 не определено для L2(Rn).
-
Ограничение преобразования Фурье
- Ограничение преобразования Фурье единичной сферой в Rn ограничено при 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.
- Оператор частичной суммы для Lp(Rn) не всегда сходится для n > 1.
-
Преобразование Фурье в функциональных пространствах
- Преобразование Фурье определяется на L1(Rn) и L2(Rn) с помощью интегралов Лебега и Планшереля.
- Преобразование Фурье на L2(Rn) является унитарным оператором.
-
Преобразование Фурье для Lp(R)
- Преобразование Фурье может быть определено на Lp(R) с помощью интерполяции Марцинкевича.
- Для 1 < p < 2 преобразование Фурье преобразует Lp(Rn) в Lq(Rn), где q = p/p − 1.
-
Преобразование Фурье для распределений
- Преобразование Фурье может быть определено для распределений на Rn.
- Преобразование Фурье умеренных распределений подчиняется формуле умножения.
-
Преобразование Фурье-Стилтьеса
- Преобразование Фурье конечной борелевской меры μ на Rn называется преобразованием Фурье-Стилтьеса.
- Преобразование Фурье-Стилтьеса не обязательно обращается в нуль на бесконечности.
- Теорема Бохнера характеризует функции, возникающие при преобразовании Фурье-Стилтьеса положительной меры на окружности.
-
Преобразование Фурье для локально компактных абелевых групп
- Преобразование Фурье обобщается на локально компактные абелевы группы.
- Группа G имеет трансляционно-инвариантную меру μ, называемую мерой Хаара.
- Множество неприводимых унитарных представлений называется символами группы.
- Преобразование Фурье определяется как интеграл по группе.
-
Примеры и свойства
- Преобразование Фурье для T = R/Z: символы группы образуют ортонормированный базис.
- Преобразование Гельфанда связано с картой двойственности Понтрягина.
- Преобразование Фурье для компактных неабелевых групп принимает значения как операторы Гильбертова пространства.
-
Обобщения и альтернативы
- Преобразование Фурье ограничено для анализа сигналов, локализованных во времени.
- Альтернативы включают частотно-временные преобразования и вейвлет-преобразования.
-
Пример
- Интеграл преобразования Фурье определяет присутствие частоты в функции.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье преобразует функцию во временную область в частотную.
- Действительная и мнимая части подынтегрального выражения изменяются в зависимости от частоты.
- Абсолютное значение преобразования Фурье показывает амплитуду частотной составляющей.
-
Применение преобразования Фурье
- Преобразование Фурье используется для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
- Уравнение теплопроводности и волновое уравнение могут быть решены с помощью преобразования Фурье.
-
Метод Фурье для волнового уравнения
- Элементарные решения волнового уравнения включают косинусоидальные и синусоидальные функции.
- Интеграл по параметру ξ представляет собой непрерывную линейную комбинацию элементарных решений.
- Граничные условия выражаются через интегралы Фурье, что позволяет найти коэффициенты a± и b±.
-
Концептуальная переформулировка метода Фурье
- Преобразование Фурье используется для обеих переменных x и t.
- Волновое уравнение становится алгебраическим уравнением в распределении ŷ.
- Элементарные решения выбираются как дельта-функции, что объясняет их эффективность.
-
Распределения на конике
- Распределения задаются распределениями одной переменной на прямой θ = f и θ = −f.
- Инверсия Фурье дает граничные условия для полиномиального роста.
-
Применение преобразования Фурье
- Преобразование Фурье используется в спектроскопии, квантовой механике и обработке сигналов.
- В спектроскопии сигнал преобразуется в частотную область.
- В квантовой механике преобразование Фурье связывает волновые функции положения и импульса.
-
Квантовая механика
- Преобразование Фурье используется для перехода от волновой функции положения к волновой функции импульса.
- В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шредингера решается методами Фурье.
- В релятивистской квантовой механике уравнение Клейна-Гордона-Шредингера-Фока решается аналогично.
-
Обработка сигналов
- Преобразование Фурье используется для спектрального анализа временных рядов.
- Автокорреляционная функция измеряет силу корреляции между значениями сигнала.
- Преобразование Фурье автокорреляционной функции называется функцией спектральной плотности мощности.
-
Спектральный анализ временных рядов
- Спектр мощности описывает влияние различных частот на среднюю мощность сигнала.
- Спектральный анализ аналогичен дисперсионному анализу данных.
- Знание важных частот важно для проектирования фильтров и оценки измерительных приборов.
-
Обозначения и замены
- Используются различные обозначения для преобразования Фурье, такие как f^, F, F(f), F(f(t)), F{f}.
- В науке и технике часто используются замены, такие как ξ → f, x → t, f → x, f^ → X.
- Недостаток обозначения заглавными буквами — сложность выражения преобразований, таких как f^g^.
-
Интерпретация комплексной функции
- Комплексная функция f(θ) может быть выражена в полярных координатах как f^ (ξ) = A(ξ)e^iφ(ξ).
- Обратное преобразование: f(x) = ∫-∞∞ A(ξ)e^(2πξx+φ(ξ))dξ.
-
Преобразование Фурье как отображение
- Преобразование Фурье можно рассматривать как линейное отображение в функциональных пространствах.
- Обозначение F(f) используется для обозначения преобразования Фурье функции f.
- Результат применения преобразования Фурье — функция, вычисляемая при значении θ.
-
Методы расчета
- Методы расчета зависят от формы исходной функции и желаемой выходной функции.
- Для дискретнозначных x интеграл становится суммированием синусоид.
- Дискретное преобразование Фурье (DTFT) используется для дискретных значений x.
-
Аналитическое и численное интегрирование
- Аналитическое интегрирование возможно для функций замкнутой формы.
- Численное интегрирование работает с более широким классом функций.
- Численное интегрирование ряда упорядоченных пар сводится к суммированию.
-
Таблицы важных преобразований Фурье
- Приведены таблицы преобразований Фурье для различных функций.
- Включены три наиболее распространенных соглашения для обозначений.
-
Преобразования Фурье
- Преобразования Фурье можно найти в работах Кэмпбелла и Фостера (1948), Эрдели (1954) или Каммлера (2000, приложение).
- Распределения, одномерные и двумерные функции, формулы для общих n-мерных функций.
-
Обработка аналоговых сигналов
- Биверс–Липсон стрип
- Преобразование константы Q
- Дискретное преобразование Фурье
- Матрица DFT
- Быстрое преобразование Фурье
- Интегральный оператор Фурье
- Теорема об инверсии Фурье
- Множитель Фурье
- Ряд Фурье
- Синусоидальное преобразование Фурье
- Преобразование Фурье–Делиня
- Преобразование Фурье–Мукаи
- Дробное преобразование Фурье
- Косвенное преобразование Фурье
- Преобразование Ханкеля
- Преобразование Хартли
- Преобразование Лапласа
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов
- Линейное каноническое преобразование
-
Список преобразований, связанных с Фурье
- Трансформация Меллина
- Многомерное преобразование
- NGC 4622, особенно изображение NGC 4622 с преобразованием Фурье m = 2
- Нелокальный оператор
- Квантовое преобразование Фурье
- Квадратичное преобразование Фурье
- Кратковременное преобразование Фурье
- Оценка спектральной плотности
- Символическая интеграция
- Дисперсионное преобразование Фурье с растягиванием во времени
-
Преобразование (математика)
- Записи
- Цитаты
- Рекомендации
-
Внешние ссылки
- Материалы, связанные с преобразованием Фурье на Викискладе
- Математическая энциклопедия
- Преобразование Фурье в кристаллографии