Оглавление
- 1 Скудный набор
- 1.1 Определение скудного множества
- 1.2 Роль скудных множеств
- 1.3 Примеры скудных множеств
- 1.4 Характеристики и достаточные условия
- 1.5 Дополнительные замечания
- 1.6 Основные свойства скудных множеств
- 1.7 Скудные множества и мера Лебега
- 1.8 Отношение к борелевской иерархии
- 1.9 Игра в Банах–Мазур
- 1.10 Двойственность Эрдеша–Серпинского
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Скудный набор
Скудный набор
-
Определение скудного множества
- Скудное множество — это подмножество топологического пространства, которое является малым или пренебрежимо малым.
- Набор, который не является скудным, называется немелким.
- Скудные подмножества образуют σ-идеал подмножеств.
-
Роль скудных множеств
- Скудные множества важны в формулировке понятия пространства Бэра и теоремы о категориях Бэра.
- Теорема о категориях Бэра используется при доказательстве фундаментальных результатов функционального анализа.
-
Примеры скудных множеств
- Пустое множество всегда скудно.
- В огромном пространстве [0,1]∪([2,3]∩Q) набор [2,3]∩Q скуден.
- В огромном пространстве [0,2] набор [0,1] не является скудным.
- Счетное пространство T1 без изолированной точки скудно.
- Набор Канторов скуден в R, но не является скудным подпространством.
- Линия R×{0} в R2 скудна, но не является скудным подпространством.
- Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек скудно.
-
Характеристики и достаточные условия
- Каждое непустое пространство Бэра не является малым.
- Каждое непустое полное метрическое пространство и локально компактное хаусдорфово пространство не являются малыми.
- Любое подмножество скудного множества является скудным.
- Каждое нигде не плотное подмножество является скудным.
- Теорема о банаховой категории утверждает, что объединение любого семейства открытых множеств первой категории относится к первой категории.
-
Дополнительные замечания
- Не следует путать понятия “незначительный” и “приемлемый”.
- Скудное подпространство — это скудное подмножество самого себя.
- Термины “первая категория” и “вторая категория” были введены Рене Бэром в 1899 году.
- Скудная терминология была введена Бурбаки в 1948 году.
-
Основные свойства скудных множеств
- Скудное множество в топологическом пространстве эквивалентно скудному множеству в себе.
- Каждое подмножество скудного множества скудно само по себе.
- Скудное множество не обязательно должно быть замкнутым, но всегда содержится в замкнутом нигде плотном множестве.
-
Скудные множества и мера Лебега
- Нигде не существует плотных подмножеств с положительной мерой Лебега.
- Скудные множества в R могут иметь полную меру, например, множество Смита–Вольтерры–Кантора.
- Дополнение к скудному множеству с мерой 1 в [0,1] имеет меру 0 и является незначительным.
-
Отношение к борелевской иерархии
- Скудное множество не обязательно замкнуто, но всегда содержится в Fσ-множестве.
- Согласованное множество не обязательно открыто, но содержит плотную Gδ-множество.
-
Игра в Банах–Мазур
- Скудные множества можно охарактеризовать через игру Банаха–Мазура.
- Игрок Q имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда X скудно.
-
Двойственность Эрдеша–Серпинского
- Теорема о двойственности Эрдеша–Серпинского утверждает, что изображение нулевого множества под картой является скудным и наоборот.