Оглавление
Услышав звук барабана
-
Услышать форму барабана
- Вопрос о возможности услышать форму барабана по его звуку был сформулирован Марком Кацем в 1966 году.
- Кац получил премии за свою работу в 1967 и 1968 годах.
-
Уравнение Гельмгольца и собственные значения
- Частоты, с которыми вибрирует головка барабана, зависят от его формы.
- Уравнение Гельмгольца вычисляет частоты по известной форме.
- Частоты являются собственными значениями лапласиана.
-
Изоспектральные области
- Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения.
- Термин “гомофонический” оправдан, так как собственные значения Дирихле являются основными звуками барабана.
-
Ответ на вопрос Каца
- В 1992 году Кэролин Гордон, Дэвид Уэбб и Скотт Уолперт построили пару областей с разными формами, но одинаковыми собственными значениями.
- Стив Зельдич доказал, что для выпуклых областей с аналитической границей ответ на вопрос Каца положителен.
-
Формула Вейля и гипотеза Вейля-Берри
- Формула Вейля позволяет определить площадь барабана по собственным значениям.
- Гипотеза Вейля-Берри предполагает, что для негладких границ коррекция должна быть порядка хаусдорфовой размерности границы.
-
Дополнительные исследования
- Бусер, Конвей, Дойл и Земмлер построили множество примеров изоспектральных областей.
- Осгуд, Филлипс и Сарнак доказали, что пространство модулей римановых поверхностей компактно в топологии Фреше-Шварца.