Теорема Блоха

Теорема Блоха Теорема Блоха Решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены как плоские волны, модулированные периодическими функциями.   Функции […]

Теорема Блоха

  • Теорема Блоха

    • Решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены как плоские волны, модулированные периодическими функциями.  
    • Функции такой формы известны как функции Блоха или блоховские состояния.  
    • Волновой вектор k является вектором импульса кристалла.  
  • Применение и последствия

    • Теорема Блоха описывает электроны в кристалле и электронные зонные структуры.  
    • Волновые векторы k могут быть ограничены первой зоной Бриллюэна для уникальности состояний.  
    • Волновые функции могут быть записаны как ψ(r) = e^ik⋅r u(r), где u(r) имеет ту же периодичность, что и кристалл.  
  • Доказательство теоремы Блоха

    • Использование периодичности решетки и операторов перевода.  
    • Лемма: если волновая функция является собственным состоянием всех операторов перевода, то она является блоховским состоянием.  
    • Доказательство: волновые функции в базисе гамильтонова оператора и операторов перевода являются собственными состояниями энергии и блоховскими состояниями.  
  • Теорема Блоха и операторы трансляции

    • Оператор трансляции T^n переводит волновую функцию ψ(x) в ψ(x + n⋅a).  
    • Гамильтониан H^ должен коммутировать с T^n, что приводит к общему набору собственных функций.  
    • Собственные функции оператора трансляции имеют вид e^ik⋅aψ(x), где k — волновой вектор.  
  • Использование теории групп

    • Переводы могут быть записаны как коммутирующие операторы τ^n.  
    • Коммутативность операторов τ^n дает три циклические подгруппы, которые являются одномерными и абелевыми.  
    • Символы этих подгрупп являются корнями из единицы и могут быть записаны как e^ik⋅a.  
  • Периодические условия и волновой вектор

    • Граничное условие Борна-фон Кармана заменяет независимое от времени уравнение Шредингера эффективным гамильтонианом.  
    • Волновой вектор k определяет неприводимое представление и служит квантовым числом для оператора трансляции.  
    • Волновая функция может быть разложена на символы неприводимых представлений.  
  • Скорость и эффективная масса

    • Применив уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, получаем уравнение с параметром k.  
    • Собственные значения зависят от непрерывного параметра k, что приводит к непрерывному семейству собственных значений.  
  • Электронная полосовая структура

    • Энергия системы описывается как E = E(e^ikx u(x))  
    • Эффективный импульс состоит из двух частей: стандартного импульса и кристаллического импульса  
  • Эффективная скорость

    • ∂εn/∂k = ℏ/m⟨p^⟩ = ℏ⟨v^⟩  
    • ∂εn/∂k и ∂2εn/∂ki∂kj являются коэффициентами разложения по q  
  • Теория возмущений второго порядка

    • E = E0 + ∫dru^nV^u^n + ∑n’≠n|∫dru^nV^u^n|2(E0-E’0) + …  
    • ∂εn/∂k = ℏ/m∫dru^n(-i∇+k)u^n  
    • ∂2εn/∂ki∂kj = ℏ/mδij + (ℏ/m)2∑n’≠n⟨n|−i∇i|n’k⟩⟨n’k|−i∇j|nk⟩ + ⟨n|−i∇j|n’k⟩⟨n’k|−i∇i|nk⟩(E0-E’0)  
  • Эффективный тензор массы

    • Величина справа называется эффективным тензором массы M(k)  
  • История теории Флоке

    • Теория Флоке была открыта независимо несколькими математиками: Джорджем Уильямом Хиллом (1877), Гастоном Флоке (1883) и Александром Ляпуновым (1892).  
    • В результате появилось множество общих терминов для обыкновенных дифференциальных уравнений.  
  • Уравнение Хилла

    • Общая форма одномерного уравнения периодического потенциала:  
    • d2y/dt2 + f(t)y = 0, где f(t) — периодический потенциал.  
  • Конкретные периодические одномерные уравнения

    • Модель Кронига-Пенни  
    • Уравнение Матье  
  • Математическая интерпретация теоремы Блоха

    • Теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеристик решетчатой группы.  
    • Применяется к спектральной геометрии.  
  • Связанные темы

    • Блоховские колебания  
    • Метод волны Блоха (MoM)  
    • Структура электронного диапазона  
    • Модель почти свободного электрона  
    • Периодические граничные условия  
    • Симметрии в квантовой механике  
    • Модель с плотной привязкой  
    • Функция Wannier  
  • Рекомендации

    • Дальнейшее чтение  

Полный текст статьи:

Теорема Блоха

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх