Теорема Блоха
-
Теорема Блоха
- Решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены как плоские волны, модулированные периодическими функциями.
- Функции такой формы известны как функции Блоха или блоховские состояния.
- Волновой вектор k является вектором импульса кристалла.
-
Применение и последствия
- Теорема Блоха описывает электроны в кристалле и электронные зонные структуры.
- Волновые векторы k могут быть ограничены первой зоной Бриллюэна для уникальности состояний.
- Волновые функции могут быть записаны как ψ(r) = e^ik⋅r u(r), где u(r) имеет ту же периодичность, что и кристалл.
-
Доказательство теоремы Блоха
- Использование периодичности решетки и операторов перевода.
- Лемма: если волновая функция является собственным состоянием всех операторов перевода, то она является блоховским состоянием.
- Доказательство: волновые функции в базисе гамильтонова оператора и операторов перевода являются собственными состояниями энергии и блоховскими состояниями.
-
Теорема Блоха и операторы трансляции
- Оператор трансляции T^n переводит волновую функцию ψ(x) в ψ(x + n⋅a).
- Гамильтониан H^ должен коммутировать с T^n, что приводит к общему набору собственных функций.
- Собственные функции оператора трансляции имеют вид e^ik⋅aψ(x), где k — волновой вектор.
-
Использование теории групп
- Переводы могут быть записаны как коммутирующие операторы τ^n.
- Коммутативность операторов τ^n дает три циклические подгруппы, которые являются одномерными и абелевыми.
- Символы этих подгрупп являются корнями из единицы и могут быть записаны как e^ik⋅a.
-
Периодические условия и волновой вектор
- Граничное условие Борна-фон Кармана заменяет независимое от времени уравнение Шредингера эффективным гамильтонианом.
- Волновой вектор k определяет неприводимое представление и служит квантовым числом для оператора трансляции.
- Волновая функция может быть разложена на символы неприводимых представлений.
-
Скорость и эффективная масса
- Применив уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, получаем уравнение с параметром k.
- Собственные значения зависят от непрерывного параметра k, что приводит к непрерывному семейству собственных значений.
-
Электронная полосовая структура
- Энергия системы описывается как E = E(e^ikx u(x))
- Эффективный импульс состоит из двух частей: стандартного импульса и кристаллического импульса
-
Эффективная скорость
- ∂εn/∂k = ℏ/m⟨p^⟩ = ℏ⟨v^⟩
- ∂εn/∂k и ∂2εn/∂ki∂kj являются коэффициентами разложения по q
-
Теория возмущений второго порядка
- E = E0 + ∫dru^nV^u^n + ∑n’≠n|∫dru^nV^u^n|2(E0-E’0) + …
- ∂εn/∂k = ℏ/m∫dru^n(-i∇+k)u^n
- ∂2εn/∂ki∂kj = ℏ/mδij + (ℏ/m)2∑n’≠n⟨n|−i∇i|n’k⟩⟨n’k|−i∇j|nk⟩ + ⟨n|−i∇j|n’k⟩⟨n’k|−i∇i|nk⟩(E0-E’0)
-
Эффективный тензор массы
- Величина справа называется эффективным тензором массы M(k)
-
История теории Флоке
- Теория Флоке была открыта независимо несколькими математиками: Джорджем Уильямом Хиллом (1877), Гастоном Флоке (1883) и Александром Ляпуновым (1892).
- В результате появилось множество общих терминов для обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Уравнение Хилла
- Общая форма одномерного уравнения периодического потенциала:
- d2y/dt2 + f(t)y = 0, где f(t) — периодический потенциал.
-
Конкретные периодические одномерные уравнения
- Модель Кронига-Пенни
- Уравнение Матье
-
Математическая интерпретация теоремы Блоха
- Теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеристик решетчатой группы.
- Применяется к спектральной геометрии.
-
Связанные темы
- Блоховские колебания
- Метод волны Блоха (MoM)
- Структура электронного диапазона
- Модель почти свободного электрона
- Периодические граничные условия
- Симметрии в квантовой механике
- Модель с плотной привязкой
- Функция Wannier
-
Рекомендации
- Дальнейшее чтение