Оглавление
- 1 Волна Хаара
- 1.1 Вейвлет Хаара
- 1.2 Свойства вейвлета Хаара
- 1.3 Система Хаара на [0, 1]
- 1.4 Система Фабера–Шаудера
- 1.5 Система Франклина
- 1.6 Матрица Хаара
- 1.7 Преобразование Хаара
- 1.8 Матрица Хаара
- 1.9 Пример матрицы Хаара
- 1.10 Преобразование Хаара и его свойства
- 1.11 Обратное преобразование Хаара
- 1.12 Дополнительные ресурсы
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Вейвлет из волос
Волна Хаара
-
Вейвлет Хаара
- Последовательность масштабированных функций “квадратной формы”
- Образует семейство вейвлетов или базис
- Предложен Альфредом Хааром в 1909 году
-
Свойства вейвлета Хаара
- Непрерывные функции могут быть аппроксимированы линейными комбинациями вейвлетов
- Ортогональность функций Хаара
- Двойная функция ψ(t) равна самой себе
-
Система Хаара на [0, 1]
- Полная ортонормированная система для L2([0, 1])
- Монотонный базис Шаудера для Lp([0, 1]) при 1 ≤ p < ∞
- Неравенство Хинчина связывает систему Радемахера с базисом единичного вектора в ℓ2
-
Система Фабера–Шаудера
- Семейство непрерывных функций на [0, 1]
- Базис Шаудера для C([0, 1])
- Разложение функций в ряд Фабера–Шаудера сходится в C([0, 1])
-
Система Франклина
- Ортонормированный базис для L2([0, 1])
- Безусловный базис Шаудера для Lp([0, 1]) при 1 < p < ∞
- Базис Шаудера в дисковой алгебре A(D)
-
Матрица Хаара
- Матрица размером 2×2, связанная с вейвлетом Хаара
- Используется для дискретного вейвлет-преобразования
-
Преобразование Хаара
- Преобразование Хаара преобразует последовательность четной длины в двухкомпонентные векторы.
- Каждый вектор умножается на матрицу Хаара, получая результат одного этапа быстрого вейвлет-преобразования.
- Последовательность s называется усредненной частью, а d — подробной частью.
-
Матрица Хаара
- Матрица Хаара размером 2N × 2N может быть получена с помощью уравнения.
- Матрица Хаара должна быть нормализована для использования в преобразовании Хаара.
- Матрица Хаара имеет только вещественные элементы и является несимметричной.
-
Пример матрицы Хаара
- 8-точечная матрица Хаара H8 измеряет среднее значение, низкочастотную составляющую, умеренные частотные составляющие и высокочастотные составляющие.
-
Преобразование Хаара и его свойства
- Преобразование Хаара является самым простым из вейвлет-преобразований.
- Преобразование Хаара выполняет перекрестное умножение функции на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями.
- Преобразование Хаара быстрее, чем преобразование Уолша, и требует меньше вычислений.
- Длина входного и выходного сигнала одинакова, но должна быть в степени 2.
- Преобразование Хаара может быть использовано для анализа локализованных характеристик сигналов.
-
Обратное преобразование Хаара
- Обратное преобразование Хаара может быть получено с помощью уравнений.
- Пример: коэффициенты преобразования Хаара для n=4-точечного сигнала могут быть найдены как.
-
Дополнительные ресурсы
- Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты, (1992), Academic Press, Сан-Диего.
- Английский перевод основополагающей статьи Хаара.
- Бесплатная реализация вейвлет-фильтрации Хаара и интерактивная демонстрация.
- Свободный вейвлет Хаара для устранения помех и сжатия сигналов с потерями.