Ассоциативная алгебра
-
Определение и свойства алгебр
- Алгебра — это множество с бинарной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
- Алгебра A над полем K называется коммутативной, если она коммутативна как множество и билинейна.
- Алгебра A называется ассоциативной, если она ассоциативна как множество и билинейна.
-
Примеры алгебр
- Примеры включают коммутативные кольца, алгебры Ли, алгебры Хопфа и алгебры Ли.
- Алгебры Ли — это алгебры с дополнительной структурой, которая позволяет определить производные и инварианты.
- Алгебры Хопфа — это алгебры, которые удовлетворяют дополнительным условиям, таким как условие Якоби.
-
Алгебраические операции
- Алгебраические операции включают умножение, сложение, умножение на скаляр и умножение матриц.
- Умножение матриц является примером билинейной операции.
-
Алгебраические структуры
- Алгебра может быть определена как векторное пространство с билинейной операцией.
- Коалгебра — это алгебра, в которой билинейная операция может быть переинтерпретирована как линейная операция.
- Представления алгебры — это гомоморфизмы в алгебру эндоморфизмов векторного пространства.
-
Отделимость и конечномерность
- Алгебра называется отделимой, если она является проективным модулем над своим собственным кольцом эндоморфизмов.
- В конечномерном случае алгебра является артиновым кольцом, если она коммутативна, и является матричной алгеброй над полем деления.
-
Решетки и порядки
- Решетка — это конечно порожденный R-подмодуль векторного пространства, который охватывает все пространство.
- Порядок в алгебре — это решетка, которая также является идеалом.
- Максимальный порядок — это максимальный среди всех порядков.
-
Связанные понятия
- Коалгебры — это ассоциативные алгебры с дуальной структурой коалгебры.
- Представления — это гомоморфизмы алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства.
- Тензорное произведение представлений не всегда является представлением исходной алгебры.
-
Мотивация для алгебры Хопфа
- Алгебры Хопфа возникают при попытке сформировать тензорное произведение представлений алгебры.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.