Space (mathematics)
-
Определение пространства
- Пространство — это множество с определённой структурой, определяющей отношения между элементами.
- Подпространство — это подмножество пространства с той же структурой.
- Современная математика использует различные типы пространств, но не определяет понятие «пространство» само по себе.
-
Структура пространства
- Пространство состоит из выбранных математических объектов, рассматриваемых как точки, и выбранных отношений между этими точками.
- Природа точек может варьироваться: они могут представлять числа, функции или подпространства.
- Отношения определяют природу пространства.
-
История
- В древнегреческой математике пространство было геометрической абстракцией трёхмерной реальности.
- Евклид дал аксиомы для свойств пространства, на которых построил всю математику.
- Метод координат был принят Декартом в 1637 году.
- В 1795 году Монж ввёл проективную геометрию, показав, что геометрические объекты не даны нам с их структурой.
- В 19 веке Лобачевский и другие ввели неевклидову геометрию, что привело к отказу от претензий на абсолютную истину евклидовой геометрии.
-
Золотой век геометрии
- Период между 1795 и 1872 годами можно назвать «золотым веком геометрии».
- Аналитическая геометрия заменила теоремы классической геометрии вычислениями через инварианты групп преобразований.
- Классическая геометрия стала универсальным языком современной математики.
-
Современные определения
- Пространство теперь состоит из выбранных математических объектов и отношений между ними.
- Пространства — это математические структуры удобства.
- Функции образуют бесконечные-мерные функциональные пространства.
-
Классификация пространств
- Пространства классифицируются на трёх уровнях: общие, конкретные и абстрактные.
- Общая идея «пространства» не формализована, и нет единого мнения о «структуре».
- Структурный подход Бурбаки является лучшим на данный момент.
-
Классификация математических теорий
- Первая классификация учитывает свойства объектов.
- Вторая классификация учитывает ответы на важные вопросы.
- Третья классификация учитывает ответы на все возможные вопросы.
-
Примеры классификаций
- Евклидовы и проективные пространства различаются по определению расстояния.
- Вопрос о сумме углов треугольника имеет смысл только в евклидовых пространствах.
- Евклидова плоскость и евклидово 3-мерное пространство различаются по размерности.
-
Классификация по видам
- Вторая классификация различает евклидовы и неевклидовы пространства.
- Классификация по видам включает конечные и бесконечные пространства, компактные и некомпактные.
- Классификация по видам не различает разные модели одного и того же неевклидова пространства.
-
Классификация по изоморфизму
- Третья классификация различает пространства по изоморфизму.
- Изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие между точками двух пространств, сохраняющее все отношения.
- Изоморфные пространства считаются копиями одного и того же пространства.
-
Автоморфизмы и гомогенность
- Автоморфизмы евклидова пространства — это сдвиги, вращения, отражения и их композиции.
- Евклидово пространство однородно, так как каждая точка может быть преобразована в любую другую точку.
- Евклидовы аксиомы определяют все геометрические свойства пространства.
-
Топологические пространства
- Топологические понятия определяются в евклидовых пространствах.
- Изоморфизмы евклидовых пространств также являются гомеоморфизмами, но обратное неверно.
- Топологическое пространство — это структура, лежащая в основе евклидова пространства.
-
Диаграммы переходов
- Диаграммы переходов показывают, как одни пространства могут быть преобразованы в другие.
- Переход от евклидова к топологическому пространству является забывающим, так как топология не восстанавливает евклидову структуру.
- Переход от 3-мерного евклидова к евклидову пространству является инъективным, так как евклидово пространство может быть не 3-мерным.
-
Типы пространств
- Основные типы пространств: линейные и топологические.
- Линейные пространства имеют алгебраическую природу и включают вещественные, комплексные и более общие линейные пространства.
- Топологические пространства определяются через непрерывность и замкнутость.
-
Линейные пространства
- Размерность линейного пространства определяется как максимальное число линейно независимых векторов.
- Два линейных пространства изоморфны, если они имеют одинаковую размерность.
- n-мерное комплексное линейное пространство также является 2n-мерным вещественным линейным пространством.
-
Топологические пространства
- Топологические пространства имеют аналитическую природу.
- Открытые множества определяют непрерывные функции, пути, карты, сходимость последовательностей, пределы, внутренность, границу, внешность.
- Изоморфизмы между топологическими пространствами называются гомеоморфизмами.
- Открытый интервал (0,1) гомеоморфен всей действительной линии, но не замкнутому интервалу [0,1] или кругу.
- Поверхность куба гомеоморфна сфере, но не тору.
- Евклидовы пространства разных измерений не гомеоморфны.
- Размерность топологического пространства трудно определить, используются индуктивная размерность и размерность покрытия Лебега.
- В n-мерном евклидовом пространстве обе топологические размерности равны n.
- Каждое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством.
- Компактные топологические пространства важны, на них непрерывные функции ограничены.
- Геометрическая топология изучает многообразия, локально гомеоморфные евклидовым пространствам.
- Линейные и топологические структуры лежат в основе линейных топологических пространств.
- Линейное топологическое пространство является одновременно вещественным или комплексным линейным пространством и топологическим пространством с непрерывными линейными операциями.
- В конечных размерностях линейные и топологические структуры эквивалентны.
- В бесконечных размерностях разные топологии могут соответствовать одной линейной структуре, и линейные преобразования могут не быть гомеоморфизмами.
-
Аффинные и проективные пространства
- Аффинное пространство — это векторное пространство, забывшее свою исходную точку.
- Аффинное пространство изоморфно аффинному подпространству линейного пространства.
- Все n-мерные аффинные пространства над данным полем взаимно изоморфны.
- В аффинном пространстве прямая определяется как пересечение с двумерным линейным подпространством.
- Проективное пространство — это множество всех одномерных линейных подпространств линейного пространства.
- Аффинное пространство является некомпактным многообразием, проективное пространство — компактным многообразием.
- В реальном проективном пространстве прямая гомеоморфна кругу, что делает её компактной.
-
Метрические и равномерные пространства
- В метрическом пространстве определяются расстояния между точками.
- Изоморфизмы между метрическими пространствами называются изометриями.
- Метрическое пространство является топологическим пространством, если оно метризуемо.
- В метрическом пространстве можно определить ограниченные множества и сходящиеся последовательности.
- Метрическое пространство называется полным, если все сходящиеся последовательности сходятся.
- Евклидово пространство является полным метрическим пространством.
- Равномерные пространства не вводят расстояний, но позволяют использовать равномерную непрерывность, сходящиеся последовательности, полноту и завершение.
- Линейное топологическое пространство является равномерным пространством, но может быть неполным в бесконечной размерности.
-
Нормированные, банаховы, внутренние и гильбертовы пространства
- Нормированное пространство — это линейное пространство с нормой.
- Банахово пространство — это полное нормированное пространство.
- Внутреннее пространство — это линейное пространство с билинейной формой, удовлетворяющей определенным условиям.
- Гильбертово пространство — это полное внутреннее пространство.
- Все n-мерные реальные внутренние пространства взаимно изоморфны.
-
Гладкие многообразия
- Гладкие многообразия являются топологическими и могут быть вложены в конечномерные линейные пространства.
- Гладкие поверхности в конечномерных линейных пространствах также являются гладкими многообразиями.
- Реальные и комплексные конечномерные линейные, аффинные и проективные пространства также являются гладкими многообразиями.
-
Римановы многообразия
- Римановы многообразия — это гладкие многообразия с внутренними произведениями на касательных пространствах.
- Евклидовы пространства и гладкие поверхности в них являются римановыми многообразиями.
- Гиперболические неевклидовы пространства также являются римановыми многообразиями.
- Кривые в римановых многообразиях имеют длину, что делает их метрическими пространствами.
-
Мера и вероятностные пространства
- Мера обобщает понятия площади, длины, массы и вероятности.
- Мера позволяет измерять множества, которые не являются геометрическими телами.
- Мера определяется через σ-алгебру борелевских множеств.
- Мера пространства — это мера, определенная на измеримом пространстве.
- Вероятное пространство — это мера пространство с мерой, равной 1.
-
Некоммутативная геометрия
- Некоммутативная геометрия изучает линейные пространства функций.
- Важные примеры включают алгебры фон Неймана и C*-алгебры.
- Некоммутативные C*-алгебры могут быть определены как алгебры непрерывных комплексных функций, исчезающих на бесконечности.
- Некоммутативные пространства определяются как некоммутативные C*-алгебры.
-
Некоммутативная геометрия
- Некоммутативные пространства возникают из некоторых конструкций, таких как разбиения Пенроуза и слоения многообразий.
- Некоммутативные C*-алгебры и алгебры фон Неймана придают этим пространствам геометрическую структуру.
-
Алгебраическая геометрия
- Алгебраическая геометрия изучает геометрические свойства полиномиальных уравнений.
- Вейль переписал основы алгебраической геометрии, введя абстрактные алгебраические многообразия.
- Гротендик ввел схемы, которые являются более общими, чем абстрактные алгебраические многообразия.
-
Схемы
- Схемы определяются как пространства, локально моделируемые на основе топологического пространства и структурного пучка.
- Аффинные схемы обеспечивают связь между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй.
- Проективные схемы являются наиболее важным семейством схем.
-
Обобщения схем
- Алгебраические пространства сохраняют полезные свойства схем и являются более гибкими.
- Стеки Делиня–Мамфорда допускают особенности, не описываемые полиномами.
- Алгебраические стеки допускают более общие коэффициенты, чем стеки Делиня–Мамфорда.
-
Топология Гротендика
- Гротендик ввел топологию Гротендика, аксиоматизирующую понятие «покрытия».
- Топосы Гротендика определяются как категории пучков и представляют интерес сами по себе.
- Топологические пространства определяют топосы, и наоборот.
-
Локали
- Топологические пространства приводят к топосам, называемым локалями.
- Локали определяются решетками открытых подмножеств топологического пространства.
-
Локаль и топологические пространства
- Локаль определяется как полная алгебра Хейтинга.
- Локали не обязательно имеют точки, что делает их изучение «бессмысленной топологией».
- Топосы демонстрируют глубокие связи с математической логикой.
-
Классификатор подобъектов
- У каждого топоса Гротендика есть классификатор подобъектов.
- Классификатор подобъектов функционирует как набор истинностных значений.
- В топосе множеств классификатор подобъектов — это множество {0, 1}.
-
Элементарные топосы
- Лоувер и Тирни признали, что аксиоматизация классификатора подобъектов дает элементарный топос.
- Элементарные топосы являются моделями интуиционистской логики.
- Это позволяет использовать геометрические методы в логике.
-
Пространства и структура
- Бурбаки предложил общее определение «структуры», охватывающее все типы пространств.
- Изоморфизм и передача свойств между изоморфными структурами обоснованы.
- Различие между геометрическими и алгебраическими структурами иногда неуловимо.
-
Типы пространств
- Пространства, рассмотренные в разделе «Типы пространств», представляют собой наборы с дополнительной структурой.
- Элементы базового набора обычно называются «точками».
- Некоторые структуры не содержат базового набора точек, например, «бессмысленная топология».
-
Список математических пространств
- Включает аффинное, алгебраическое, свободное, банахово и другие пространства.
- Некоторые пространства имеют дополнительные свойства, такие как симметрия или безточечная топология.