Оглавление
Поточечная конвергенция
-
Определение поточечной сходимости
- Поточечная сходимость – это сходимость последовательности функций к предельной функции в каждой точке.
- Равномерная сходимость – это сходимость последовательности функций к предельной функции на всем множестве.
-
Примеры поточечной сходимости
- Последовательность функций
- f
- n
- (
- x
- )
- =
- {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}
- сходится поточечно к
- 0
- {\displaystyle 0}
- на интервале
- [
- ,
- 1
- {\displaystyle [0,1)}.
- cos
-
- π
- 2
- {\displaystyle f_{n}(x)=\cos(\pi x)^{2n}}
- {\displaystyle 1}
- при
-
Топология поточечной сходимости
- Поточечная сходимость создает топологию на множестве функций из одного множества в другое.
- Сеть в топологии поточечной сходимости сходится тогда и только тогда, когда она сходится поточечно.
- Топология поточечной сходимости совпадает с топологией продукта в пространстве функций.
-
Почти повсеместная сходимость
- Почти повсеместная сходимость – это поточечная сходимость почти везде, то есть в подмножестве с нулевой мерой.
- Теорема Егорова утверждает, что почти повсеместная поточечная сходимость на множестве конечной меры влечет за собой равномерную сходимость на меньшем множестве.
- Поточечная сходимость почти везде не определяет структуру топологии в пространстве измеримых функций.