Преобразование Фурье
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье (FT) — интегральное преобразование, которое принимает функцию и выводит другую функцию, описывающую степень присутствия различных частот.
- Результат преобразования — комплекснозначная функция частоты.
- Преобразование аналогично разложению звучания музыкального аккорда на интенсивности составляющих тонов.
-
История и применение
- Джозеф Фурье ввел преобразование в исследовании теплопередачи.
- Преобразование Фурье используется в физике, инженерии и математике.
- Преобразование Фурье обобщается на функции нескольких переменных и группы.
-
Определение и свойства
- Преобразование Фурье анализирует функцию на составляющие частоты и амплитуды.
- Обратный процесс — синтез, воссоздающий функцию из её преобразования.
- Преобразование Фурье сходится для всех частот, если функция распадается со всеми производными.
-
Интегрируемые функции Лебега
- Функции Шварца быстро затухают на бесконечности.
- Интегрируемая по Лебегу функция имеет конечный интеграл Лебега от её абсолютного значения.
- Преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу функции определяется по формуле Eq.1.
-
Унитарность и L2
- Преобразование Фурье является унитарным оператором на L2(R).
- Преобразование сохраняет пространство L2(R), что важно для обратного преобразования.
- Для функций в L2 преобразование Фурье больше не задается уравнением 1.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье может быть получено путем регуляризации интеграла и перехода к пределу.
- Интеграл часто рассматривается как неправильный интеграл, что требует использования слабого предела или главного значения.
- Титчмарш и Дайм и Маккин предложили три способа распространения преобразования Фурье на квадратично интегрируемые функции.
-
Угловая частота и соглашения
- Угловая частота ω = 2πξ, где ξ — частота, а ω — угловая частота.
- Преобразование Фурье может быть записано в терминах угловой частоты, что создает новые соглашения.
- Преобразование Фурье больше не является унитарным преобразованием при использовании угловой частоты.
-
Расширение определения
- Преобразование Фурье может быть определено на Lp(R) с помощью интерполяции Марцинкевича.
- Преобразование Фурье может быть определено в областях, отличных от реальной линии, таких как евклидово пространство и локально-абелевы группы.
- Преобразование Фурье также может быть определено для умеренных распределений, двойственных пространству быстро убывающих функций.
-
История и сложные синусоиды
- В 1822 году Фурье заявил, что любая функция может быть разложена в ряд синусов.
- Коэффициенты преобразования Фурье могут быть представлены в полярной и прямоугольной координатной формах.
- Продукт с e^i2πξx имеет полярную и прямоугольную координатную формы.
-
Отрицательная частота и периодические функции
- Формула Эйлера вводит возможность отрицательного ξ.
- Преобразование Фурье периодической функции не может быть определено интегральной формулой, но может быть выражено через ряды Фурье.
- Преобразование Фурье периодической функции с периодом P может быть представлено как гребенчатая функция Дирака.
-
Выборка преобразования Фурье
- Преобразование Фурье интегрируемой функции может быть отбирано с регулярными интервалами.
- Эти выборки могут быть получены из одного цикла периодической функции, которая имеет коэффициенты ряда Фурье, пропорциональные этим выборкам.
- Интегрируемость функции обеспечивает сходимость периодического суммирования.
-
Пример преобразования Фурье
- Функция f(t) = cos(2π3t)e−πt2 представляет собой косинусоидальную волну с огибающей Гаусса.
- Преобразование Фурье вычисляет амплитуду частотной составляющей 3 Гц.
- При добавлении к преобразованию Фурье на частоте -3 Гц амплитуда 3 Гц равна 1.
- При попытке измерить частоту, которой нет, интеграл быстро изменяется между положительными и отрицательными значениями.
-
Свойства преобразования Фурье
- Преобразование Фурье линейно, изменяет время, сдвигает частоту и масштабирует по времени.
- При a = −1 преобразование Фурье обращается вспять.
- Симметрия: вещественнозначная функция имеет сопряженную симметричную функцию, мнимозначная функция — сопряженную антисимметричную функцию.
- Сопряженность: (f(x))∗ ⟺ F(f^(−ξ))∗.
- Реальная и мнимая части во времени: Ре(f(x)) ⟺ F1/2(f^(ξ) + (f^(−ξ))∗), Im(f(x)) ⟺ F1/2i(f^(ξ) − (f^(−ξ))∗).
- Нулевая частотная составляющая: f^(0) = ∫−∞∞f(x)dx.
-
Обратимость и периодичность
- Преобразование Фурье обратимо при подходящих условиях.
- Оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим.
- Обратное преобразование Фурье может быть получено путем трехкратного применения преобразования Фурье.
-
Периодичность преобразования Фурье
- Преобразование Фурье можно интерпретировать как поворот плоскости на 90°.
- Двукратная итерация приводит к обратному повороту.
- Преобразование Фурье обобщается до дробного преобразования Фурье.
-
Единицы измерения
- Переменная частоты должна иметь единицы, обратные единицам измерения исходной функции.
- В электротехнике используется буква j для обозначения воображаемой единицы.
- В теории вероятностей предпочтительнее использовать преобразование Фурье—Стилтьеса.
-
Равномерная непрерывность и лемма Римана–Лебега
- Преобразование Фурье интегрируемых функций равномерно непрерывно.
- Преобразование Фурье не обязательно интегрируемо.
- Обратное преобразование Фурье выполняется почти для каждого x.
-
Теорема Планшереля и теорема Парсеваля
- Теорема Планшереля утверждает, что преобразование Фурье сохраняет энергию.
- Теорема Парсеваля связывает коэффициенты ряда Фурье с значениями преобразования Фурье.
- Формула суммирования Пуассона связывает коэффициенты ряда Фурье с значениями преобразования Фурье.
-
Различие
- Преобразование Фурье производной функции задается формулой, включающей i2πξ.
- Преобразование Фурье n-й производной функции задается формулой, включающей (i2πξ)n.
-
Преобразование Фурье и его применение
- Преобразование Фурье преобразует функции между сверткой и умножением.
- Преобразование Фурье используется для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Преобразование Фурье позволяет определить, является ли функция гладкой или быстро падает до 0.
-
Теорема о свертке
- Преобразование Фурье свертки определяется произведением преобразований Фурье функций.
- В теории систем с линейной временной инвариантностью g(x) интерпретируется как импульсная характеристика системы.
-
Теорема о взаимной корреляции
- Преобразование Фурье взаимной корреляции функций определяется произведением преобразований Фурье.
- Автокорреляция функции f(x) равна |f(ξ)|2.
-
Собственные функции преобразования Фурье
- Преобразование Фурье имеет собственные функции, подчиняющиеся однородному дифференциальному уравнению.
- Собственные функции можно найти, используя правила дифференцирования.
- Функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций.
-
Связь с группой Гейзенберга
- Группа Гейзенберга представляет собой группу унитарных операторов в гильбертовом пространстве L2(R).
- Преобразование Фурье можно интерпретировать как унитарное представление группы Гейзенберга.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье связывает унитарные представления ρ и ρ ∈ j.
- Квадрат преобразования Фурье является связующим звеном между J2 и −I.
- Преобразование Фурье может быть изучено для комплексных значений аргумента θ.
-
Теорема Пейли-Винера
- Функция f является гладкой и компактно поддерживаемой тогда и только тогда, когда её преобразование Фурье голоморфно.
- Функция f называется причинной, если её преобразование Фурье стремится к нулю при τ → ∞.
-
Преобразование Лапласа
- Преобразование Лапласа связано с преобразованием Фурье и используется для решения дифференциальных уравнений.
- Преобразование Лапласа может сходиться за пределами воображаемой линии, где определено преобразование Фурье.
-
Инверсия преобразования Фурье
- Формула инверсии Фурье использует интегрирование по различным линиям, параллельным действительной оси.
- Теорема: если f(t) = 0 при t < 0 и |f(t)| < Cea|t|, то f(t) = ∫−∞∞f^(σ+iτ)e−i2πξt dσ.
-
Преобразование Фурье в евклидовом пространстве
- Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном числе измерений n.
- Все основные свойства преобразования Фурье справедливы для n-мерного случая.
-
Принцип неопределенности
- Чем более концентрированной является функция f(x), тем более развернутым должно быть её преобразование Фурье.
- Принцип неопределенности гласит, что дисперсия около нуля функции и её преобразования Фурье должна быть не менее 1/16π2.
-
Преобразование Фурье и его свойства
- Преобразование Фурье переводит функцию f(x) в функцию f^(ξ) = σC1e−πσ2ξ2.
- Функция f^(ξ) является гауссовой функцией с дисперсией σ−2/2π.
- Неравенство между дисперсиями f(x) и f^(ξ) выражает принцип неопределенности Гейзенберга.
-
Синусоидальные и косинусоидальные преобразования
- Преобразование Фурье может быть выражено через синусы и косинусы.
- Функция f(t) может быть разложена в интеграл Фурье через косинусное и синусоидальное преобразования.
- Интегральная формула Фурье позволяет восстановить функцию f(t) из косинусного и синусоидального преобразований.
-
Сферические гармоники
- Сферические гармоники играют роль многочленов Эрмита в более высоких измерениях.
- Преобразование Фурье сопоставляет каждое пространство Hk с самим собой.
- Преобразование Фурье радиальной функции можно выразить через функцию Бесселя.
-
Проблемы с ограничениями
- Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, но не определено на множествах с мерой 0.
- Ограничение преобразования Фурье единичной сферой является ограниченным оператором на Lp при 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.
- Оператор частичной суммы не всегда сходится в Lp для n > 1.
-
Преобразование Фурье в функциональных пространствах
- Преобразование Фурье в L1 является ограниченным оператором.
- Преобразование Фурье в L2 является унитарным оператором.
- Преобразование Фурье может быть расширено на функции в Lp для 1 ≤ p ≤ 2.
-
Преобразование Фурье в Lp
- Преобразование Фурье не определено для функций с p > 2 в Lp.
- Распределения позволяют расширить область преобразования Фурье.
-
Распределения и преобразования Фурье
- Распределения определяются как непрерывные линейные функционалы в Cc(Rn).
- Преобразование Фурье является автоморфизмом в пространстве Шварца.
- Умеренные распределения включают интегрируемые функции и хорошо управляемые функции.
-
Преобразование Фурье для мер
- Преобразование Фурье конечной борелевской меры μ задается формулой.
- Лемма Римана–Лебега не выполняется для мер.
- Преобразование Фурье может быть использовано для характеристики показателей.
-
Локально компактные абелевы группы
- Преобразование Фурье обобщается на локально компактные абелевы группы.
- Мера Хаара определяет локально компактную абелеву группу.
- Преобразование Фурье определяется через символы группы.
-
Преобразование Гельфанда
- Преобразование Гельфанда является частным случаем преобразования Фурье.
- Преобразование Гельфанда связано с картой двойственности Понтрягина.
-
Компактные неабелевы группы
- Преобразование Фурье может быть определено для функций в компактных неабелевых группах.
- Неприводимые унитарные представления могут быть многомерными.
- Преобразование Фурье для компактных групп используется в теории представлений и некоммутативном гармоническом анализе.
-
Преобразование Фурье-Стилтьеса
- Определяется как оператор на гильбертовом пространстве Hσ, действующий на конечные борелевские меры μ.
- Изоморфизм между банаховым пространством M(G) и C∞(Σ).
- Изометрический изоморфизм C*-алгебр.
-
Обобщение на некоммутативные группы
- Двойственность Таннаки-Крейна заменяет группу символов категорией представлений.
- Потеря связи с гармоническими функциями.
-
Альтернативы преобразованию Фурье
- Частотно-временные преобразования и распределения.
- Кратковременное преобразование Фурье, дробное преобразование Фурье, синхронное преобразование Фурье.
- Вейвлет-преобразования и чирплет-преобразования.
-
Приложения преобразования Фурье
- Решение дифференциальных уравнений в частных производных.
- Метод Фурье для решения волнового уравнения.
- Использование элементарных решений и интегралов Фурье.
-
Анализ дифференциальных уравнений
- Решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
- Метод Фурье для нахождения граничных условий.
- Использование инверсии Фурье для нахождения коэффициентов a± и b±.
-
Преобразование Фурье в квантовой механике
- Преобразование Фурье используется для перехода от волновой функции положения к волновой функции импульса.
- Преобразование Фурье позволяет решать волновое уравнение Шредингера.
- В релятивистской квантовой механике уравнение Шредингера становится волновым уравнением Клейна-Гордона-Шредингера-Фока.
-
Применение преобразования Фурье в спектроскопии
- Преобразование Фурье используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и инфракрасной спектроскопии (FTIR).
- В ЯМР сигнал преобразуется из временной области в частотную.
- В МРТ и масс-спектрометрии также применяется преобразование Фурье.
-
Обработка сигналов
- Преобразование Фурье используется для спектрального анализа временных рядов.
- Автокорреляционная функция функции f используется вместо преобразования Фурье самой функции.
- Автокорреляционная функция определяется как предел интеграла функции f(t)f(t+τ) при T → ∞.
-
Автокорреляционная функция
- Функция, измеряющая силу корреляции между значениями функции f, разделенными временным лагом τ.
- Для большинства функций f является ограниченной четной функцией временного запаздывания τ.
- Автокорреляционная функция полезна для анализа сигналов и других статистических задач.
-
Преобразование Фурье
- Преобразование Фурье функции f(t) называется функцией спектральной плотности мощности P(ξ).
- Спектр мощности измеряет отклонение, вносимое в данные частотой Θ.
- Спектральный анализ временных рядов аналогичен дисперсионному анализу данных.
-
Обозначения и преобразования
- Используются различные обозначения для f(ξ), включая f^, F(ξ), F(f), F(f(t)), F{f(t)}.
- В науке и технике часто используются замены ξ → f, x → t, f → x, f^ → X.
- Преобразование Фурье может быть выражено в полярных координатах f^ = A(ξ)e^iφ(ξ).
-
Методы расчета
- Методы расчета зависят от формы исходной функции и желаемой выходной функции.
- Для дискретнозначных x интеграл преобразования становится суммированием синусоид.
- Дискретное преобразование Фурье (DFT) обычно вычисляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (FFT).
- Аналитическое интегрирование функций замкнутой формы возможно с помощью систем компьютерной алгебры.
-
Вычисление преобразования Фурье
- Пример: cos(6nt) e−nt2 можно вычислить с помощью команды интегрировать в Wolfram Alpha.
- Численное интегрирование непрерывных функций замкнутой формы.
- Дискретная выборка преобразования Фурье выполняется численным интегрированием.
-
Численное интегрирование упорядоченных пар
- Если входная функция представляет собой последовательность упорядоченных пар, численное интегрирование сводится к суммированию.
- DTFT является примером этой ситуации.
-
Таблицы важных преобразований Фурье
- Приведены таблицы преобразований Фурье замкнутой формы для различных функций.
- Включены три наиболее распространенных соглашения.
- Запись 105 связывает преобразование Фурье и его обратную функцию.
-
Функциональные взаимосвязи, одномерные
- Преобразования Фурье можно найти в работах Эрдели и Каммлера.
- Включает функции Шварца, квадратично интегрируемые функции и распределения.
-
Двумерные функции
- Формулы для общих n-мерных функций.
-
Связанные темы
- Обработка аналоговых сигналов, Биверс–Липсон стрип, Преобразование константы Q, Дискретное преобразование Фурье, Быстрое преобразование Фурье, Интегральный оператор Фурье, Теорема об инверсии Фурье, Множитель Фурье, Ряд Фурье, Синусоидальное преобразование Фурье, Преобразование Фурье–Делиня, Преобразование Фурье–Мукаи, Дробное преобразование Фурье, Косвенное преобразование Фурье, Преобразование Ханкеля, Преобразование Хартли, Преобразование Лапласа, Спектральный анализ методом наименьших квадратов, Линейное каноническое преобразование, Список преобразований, связанных с Фурье, Трансформация Меллина, Многомерное преобразование, NGC 4622, Нелокальный оператор, Квантовое преобразование Фурье, Квадратичное преобразование Фурье, Кратковременное преобразование Фурье, Оценка спектральной плотности, Символическая интеграция, Дисперсионное преобразование Фурье с растягиванием во времени, Преобразование (математика), Записи, Цитаты, Рекомендации, Внешние ссылки, Материалы на Викискладе, Математическая энциклопедия, Преобразование Фурье в кристаллографии.