Оглавление
- 1 Пустой набор
- 1.1 Определение пустого множества
- 1.2 Свойства пустого множества
- 1.3 Операции с пустым множеством
- 1.4 Пустое множество в других областях математики
- 1.5 Исторические и философские вопросы
- 1.6 Сравнение элементов и наборов
- 1.7 Пустое множество и множественная количественная оценка
- 1.8 Дополнительные понятия
- 1.9 Рекомендации
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Пустой набор
Пустой набор
-
Определение пустого множества
- Пустое множество — это множество без элементов, его мощность равна нулю.
- В некоторых аксиоматических теориях множеств существование пустого множества гарантировано, в других его существование может быть выведено.
-
Свойства пустого множества
- Пустое множество является подмножеством любого множества.
- Объединение, пересечение и декартово произведение пустого множества с любым множеством также пусто.
- Пустое множество обладает всеми свойствами, которые выполняются для любого множества.
-
Операции с пустым множеством
- Сумма элементов пустого множества равна нулю.
- Произведение элементов пустого множества равно единице.
- Пустое множество можно считать нарушением, так как оно имеет только одну перестановку.
-
Пустое множество в других областях математики
- В расширенных вещественных числах пустое множество имеет верхнюю и нижнюю границы, равные бесконечности.
- В топологии пустое множество открыто, замкнуто и компактно.
- В теории категорий пустое множество является уникальным исходным объектом.
-
Исторические и философские вопросы
- Кантор использовал обозначение “P ≡ O” для обозначения множества без точек.
- Цермело считал пустое множество “неподходящим набором”.
- Пустое множество остается онтологическим курьезом, его значение и полезность обсуждаются философами и логиками.
-
Сравнение элементов и наборов
- Дарлинг сравнивает элементы наборов, используя выражение “совокупность всех вещей, которые лучше, чем вечное счастье”.
- Второе выражение сравнивает сами наборы, например, “Сет (бутерброд с ветчиной) лучше, чем сет ∅”.
-
Пустое множество и множественная количественная оценка
- Джонатан Лоу утверждает, что пустое множество также является случаем, когда:
- Джордж Булос утверждает, что многое из теории множеств можно получить путем множественной количественной оценки индивидов без овеществления множеств.
-
Дополнительные понятия
- 0 — количество страниц, отображающих краткие описания без пробелов.
- Обитаемое множество — свойство множеств, используемых в конструктивной математике.
- Ничто — полное отсутствие чего-либо, противоположность всему.
- Степенной набор — математический набор всех подмножеств множества.
-
Рекомендации
- Дальнейшее чтение: Халмос, Пол, Наивная теория множеств.
- Переиздания: Springer-Verlag, 1974; Martino Fine Books, 2011.