Оглавление
Слабая сходимость (гильбертово пространство)
-
Определение слабой сходимости
- Последовательность точек в гильбертовом пространстве слабо сходится к точке, если внутреннее произведение стремится к нулю для всех функций в пространстве.
- Обозначения: иногда используется для обозначения слабой сходимости.
-
Свойства слабой сходимости
- Если последовательность сходится сильно, то она также сходится слабо.
- Замкнутые и ограниченные множества слабо компактны, если они выпуклы и ограничены.
- Каждая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
- Нормой является слабая нижняя полунепрерывность.
- В конечномерных гильбертовых пространствах слабая и сильная сходимость эквивалентны.
-
Пример слабой сходимости
- Последовательность функций в L2[0,2π] слабо сходится к нулевой функции.
- Последовательность ортонормированных векторов слабо сходится к нулю.
-
Теорема Банаха-Сакса
- Каждая ограниченная последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
-
Обобщения на банаховы пространства
- Слабая сходимость в банаховом пространстве определяется через линейные функционалы.
- В случае Lp на Ω и p < +∞, линейные функционалы имеют форму интегралов.
- В гильбертовых пространствах линейные функционалы принимают вид внутреннего произведения.