Теорема Гейне–Бореля
-
Определение и свойства компактности
- Компактное множество — это множество, которое является замкнутым и ограниченным.
- Компактность является фундаментальным свойством в математике, которое имеет множество приложений.
- Множество является компактным, если оно покрыто конечным числом открытых множеств.
-
Примеры компактных множеств
- Множество рациональных чисел Q является компактным.
- Множество действительных чисел R является компактным.
- Множество комплексных чисел C является компактным.
-
Теорема Гейне-Бореля
- Теорема утверждает, что каждое замкнутое ограниченное множество в метрическом пространстве является компактным.
- В топологических векторных пространствах теорема утверждает, что каждое замкнутое ограниченное множество является компактным.
- Существуют метрические пространства, которые не обладают свойством Гейне-Бореля, например, пространство рациональных чисел.
-
Доказательства теоремы Гейне-Бореля
- Доказательство Лебега основано на использовании открытых покрытий и конечных подпокрытий.
- Доказательство Хаусдорфа использует теорему о том, что каждая предельная точка замкнутого множества находится в этом множестве.
- Доказательство для компактных подмножеств в топологических пространствах основано на использовании открытых покрытий и конечных подпокрытий.
-
Свойства замкнутых подмножеств компактных множеств
- Замкнутое подмножество компактного множества также является компактным.
- Если множество ограничено, то оно компактно.
- Если множество S в Rn ограничено, то оно может быть заключено в n-образный блок T0, который является компактным.
-
Свойство Гейне-Бореля в метрических пространствах
- Метрическое пространство обладает свойством Гейне-Бореля, если каждое замкнутое ограниченное множество является компактным.
- Полные метрические пространства могут не обладать свойством Гейне-Бореля.
- Некоторые бесконечномерные пространства Фреше обладают свойством Гейне-Бореля.
-
Свойства Гейне-Бореля в топологических векторных пространствах
- Топологическое векторное пространство обладает свойством Гейне-Бореля, если каждое замкнутое ограниченное множество является компактным.
- Бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне-Бореля.
- Некоторые квазиполные ядерные пространства и пространства Монтеля обладают свойством Гейне-Бореля.