Относительно компактное подпространство
-
Определение и свойства относительно компактных подмножеств
- Относительно компактное подмножество топологического пространства — это подмножество с компактным замыканием.
- Каждое подмножество компактного пространства является относительно компактным.
- В произвольном топологическом пространстве любое подмножество относительно компактного множества также относительно компактно.
- В хаусдорфовом пространстве каждое компактное подмножество относительно компактно.
- В негаусдорфовом пространстве замыкание компактного подмножества может не быть компактным.
- В топологическом векторном пространстве каждое компактное подмножество является полным и относительно компактным.
-
Критерии относительной компактности
- В метрической топологии или в случае использования последовательностей для проверки компактности, любая последовательность в относительно компактном множестве имеет подпоследовательность, сходящуюся в пространстве.
-
Примеры и теоремы
- Теорема Арзелы-Асколи и другие теоремы характеризуют относительно компактные подмножества в функциональных пространствах.
- Теорема Малера о компактности в геометрии чисел описывает относительно компактные подмножества в некомпактных однородных пространствах.
-
Контрпример и почти периодические функции
- В качестве контрпримера можно привести окрестность точки в бесконечном пространстве, которая является компактной, но не относительно компактной.
- Определение почти периодической функции связано с тем, что преобразования представляют собой относительно компактный набор, что требует уточнения в зависимости от используемой топологии.
-
Дополнительные ресурсы
- Ссылки на страницы из книги и на Google книги для дополнительной информации.