Оглавление [Скрыть]
- 1 Зональная сферическая функция
- 1.1 Определение зональных сферических функций
- 1.2 Алгебра Гекке
- 1.3 Свойства зональных сферических функций
- 1.4 Пары Гельфанда
- 1.5 Примеры и приложения
- 1.6 Теорема Картана–Хелгасона
- 1.7 Формула Хариша-Чандры
- 1.8 Собственные функции
- 1.9 Пример: SL(2,C)
- 1.10 Сложный случай
- 1.11 Зональные сферические функции
- 1.12 Доказательства формулы
- 1.13 Пример: SL(2,R)
- 1.14 Алгебраические аргументы
- 1.15 Дополнительные подходы
- 1.16 Структура алгебры Гекке
- 1.17 Упрощение формулы для комплексных полупростых групп Ли
- 1.18 Второе доказательство формулы для комплексных полупростых групп Ли
- 1.19 Определение меры Планше
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Зональная сферическая функция – Arc.Ask3.Ru
Зональная сферическая функция
-
Определение зональных сферических функций
- Зональные сферические функции возникают как матричные коэффициенты K-инвариантных векторов в неприводимых представлениях G.
- Они описывают спектр коммутативной алгебры биинвариантных функций на G относительно K.
-
Алгебра Гекке
- Алгебра Гекке порождается биинвариантными функциями компактной поддержки.
- Она коммутативна, если G / K – симметричное пространство.
-
Свойства зональных сферических функций
- Равномерно непрерывны на G.
- Нормализованы и положительно определены.
- Удовлетворяют определенным интегральным соотношениям.
-
Пары Гельфанда
- Связные полупростые группы Ли имеют единственную максимальную компактную подгруппу.
- В этом случае G / K диффеоморфно евклидову пространству.
- Алгебра Гекке коммутативна, если G полупросто.
-
Примеры и приложения
- Зональные сферические функции используются в теории представлений компактных полупростых групп.
- Они предоставляют набор собственных функций для действия центра универсальной обертывающей алгебры G на L2 (G / K).
- В комплексных группах теория упрощается, так как G является комплексообразованием K.
-
Теорема Картана–Хелгасона
- Сферические представления соответствуют неприводимым представлениям.
- Доказательство через разложение Ивасавы.
-
Формула Хариша-Чандры
- Для некомпактных полупростых групп Ли K действует через сопряжения.
- Существует декомпозиция Ивасавы с замкнутой разрешимой подгруппой S.
- Представление главного ряда σ реализуется на L2(K).
- Формула Хариша-Чандры определяет зональные сферические функции.
-
Собственные функции
- Зональные сферические функции являются собственными функциями алгебры инвариантных дифференциальных операторов.
- Оператор Лапласа является простейшим инвариантным дифференциальным оператором.
- Хариш-Чандра доказал, что его формула дает все зональные сферические функции для вещественных полупростых групп Ли.
-
Пример: SL(2,C)
- Группа SL(2,C) является комплексообразованием SU(2) и двойным покрытием группы Лоренца.
- Неприводимые представления первого класса соответствуют зональным сферическим функциям.
- Лапласиан задается радиальными функциями, которые являются собственными функциями.
-
Сложный случай
- Для комплексных полупростых групп Ли G и K, T – максимальный тор в K.
- Символы в Hom(T,T) называются весами и могут быть идентифицированы с элементами весовой решетки.
- Каждое конечномерное неприводимое представление K имеет уникальный наибольший вес.
- Веса сопряженного представления K на k ⊖ t называются корнями.
- Формула знаменателя Вейля выражает знаменатель Ap как произведение.
- Размерная формула Вейля утверждает, что внутренний продукт на t∗ связан с формой убийства на k.
- Каждое неприводимое представление K голоморфно распространяется на комплексообразование G.
-
Зональные сферические функции
- Для каждого λ в Hom(A,T) существует зональная сферическая функция φλ.
- Формула Березина–Хариша–Чандры утверждает, что φλ удовлетворяет радиальной составляющей лапласиана на A.
-
Доказательства формулы
- Доказательство включает радиальную составляющую лапласиана на G и T.
- Функции класса на K могут быть отождествлены с W-инвариантными функциями на T.
- Радиальная составляющая ΔK на T задается формулой, где μ + ρ должно иметь вид s(λ + ρ).
-
Пример: SL(2,R)
- Теория зональных сферических функций для SL(2,R) возникла в работе Мелера 1881 года.
- Радиальная часть лапласиана приводит к гипергеометрическому дифференциальному уравнению.
- Подход Вейля был обобщен Харишем-Чандрой для полупростых групп Ли.
-
Алгебраические аргументы
- Зональные сферические функции соответствуют матричным коэффициентам для векторов, фиксированных через K.
- Вектор v является аналитическим вектором для G.
- Бесконечно малая форма неприводимых унитарных представлений соответствует основному ряду SL(2,R).
-
Дополнительные подходы
- Метод спуска позволяет получать результаты для реальной полупростой группы Ли.
- Теория зональных функций, не обязательно положительно определенных, задается теми же формулами, но без ограничений на комплексный параметр s или ρ.
- Формула разложения и обращения собственных функций Хариша-Чандры для сферических функций.
-
Структура алгебры Гекке
- Хариш-Чандра и Годемент доказали изоморфизмы между Cc∞(K \ G / K) и Cc∞(A) W.
- Сферические функции для евклидовых групп движения и компактных групп Ли.
- Сферические функции для p-адических групп Ли, изученные Сатаке и Макдональдом.
-
Упрощение формулы для комплексных полупростых групп Ли
- Формула для комплексных полупростых групп Ли упрощается
- Упрощение формулы позволяет упростить её использование
-
Второе доказательство формулы для комплексных полупростых групп Ли
- Приводится второе доказательство формулы
- Доказательство основано на использовании комплексных чисел
-
Определение меры Планше
- Рассматривается мера Планше
- Мера Планше используется для определения интегралов по группам Ли